線性代數學習筆記——第二章(下)

老樣子，不放圖，今日計划再次擱置，本打算今日早起將這篇筆記趕出來，結果睡過了，而且這篇筆記我嘗試了一些其他的方式，比如markdown打出矩陣，各種特殊符號以及找一些資料等等，導致花費的時間居然長達6個小時，不禁自問：我東某人居然這么菜雞了？
不過這一片筆記很多地方依舊還是用的LaTeX內聯屬性，但是這個平台他部分屬性不支持呀！所以這篇筆記出現了很多很奇怪的地方！！！_字符表示下標，^字符表示上標。
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分塊矩陣

• 基本概念：將一個矩陣用若干條橫線和豎線分成許多個小矩陣，將每個小矩陣稱為這個矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

• 要求：橫線（豎線）一氣到頭。

• 標准形：從左上角開始一串1不斷，其余地方均為0，同時標准形不一定是方的。

• 對於分塊矩陣的數乘的正確理解：將k看做只有一個塊的分塊矩陣。

• 分塊矩陣乘法：把每個子塊看作元素，做矩陣乘法。前提是子塊可乘

• 對角型分塊矩陣：只有主對角線有不為零的塊。

• 分塊矩陣轉置：先將每個子塊視作元素進行矩陣轉置，再對每個子塊進行轉置。

• 分塊矩陣求逆：對角分塊矩陣求逆，直接把所有對角子塊變為對應的逆矩陣。考慮用拉普拉斯展開式求解

初等變化

• 初等變換分為兩類：初等行變換、初等列變換。

• 初等變換分為三種：

  • 交換矩陣的某兩行(列)。
  • 用k \(\neq\) 0乘以某一行(列)。
  • 某一行(列)的n倍加到另一行(列)。

• 初等變換需要注意的幾點：

  • 初等變換矩陣與矩陣之間使用箭頭(—>)連接，不能使用等號(=)。
  • 初等變換即對矩陣的變化。
  • 矩陣的三種初等變換與行列式的三條性質毫無聯系。
  • 初等變換的矩陣不一定是方的。
  • 但是當矩陣是方陣且經過|A|變形為行列式后就滿足行列式的性質。

• 定理：任意矩陣都可以通過初等變換化為標准形。

• 矩陣的等價：一個矩陣A通過一系列出的呢過變換得到矩陣B，那么矩陣A和矩陣B等價。A\(\cong\)B

  • 性質1：反身性：A\(\cong\)A；
  • 性質2：對稱性：A\(\cong\)B \(\Rightarrow\) B\(\cong\)A;
  • 性質3：傳遞性：A\(\cong\)B，B\(\cong\)C \(\Rightarrow\) A\(\cong\)C;
  • 任何矩陣都等價於標准形，通過標准型可以將復雜的矩陣用簡單的標准型表示出來，可以探究矩陣的內在屬性。

• 初等方陣的變換種類：

  • 對單位陣E做一次初等變換得到的矩陣叫做初等方陣。\(\left[\begin{matrix}1\\&1\\&&1\\&&&1\end{matrix}\right]\)\(\stackrel{交換第一行與第四行}{\longrightarrow}\) \(\left[\begin{matrix}&&&1\\&1\\&&1\\1\end{matrix}\right]\)用E(i,j)表示為E(1,4)，同時該矩陣不再是單位矩陣。

  • 用k \(\neq\) 0乘以某行（列）。 \(\left[\begin{matrix}1\\&1\\&&1\\&&&1\end{matrix}\right]\)\(\stackrel{用3乘以第一行}{\longrightarrow}\)\(\left[\begin{matrix}3\\&1\\&&1\\&&&1\end{matrix}\right]\) 用E(i(k))表示為E(i(3))。

  • 用某一行（列）的倍數k加到另一行（列）上去，\(\left[\begin{matrix}1\\&1\\&&1\\&&&1\end{matrix}\right]\)\(\stackrel{第一行2倍加到第三行上}{\longrightarrow}\)\(\left[\begin{matrix}1\\&1\\3&&1\\&&&1\end{matrix}\right]\)用E(3,1(3))表示。

  
  

• 初等變換是一個動作（變化過程），而初等方陣是一個方陣(結果)。

• 初等方陣的逆矩陣：初等方陣均可逆，其逆矩陣也是初等方陣。

• 初等仿真的轉置：初等方陣的轉置也是初等方陣。

• 初等方陣的用處：

  • 初等方陣左乘一個矩陣，相當於相當於對這個矩陣做了同種初等行變換，右乘相當於做了同種初等列變換。
  • 初等方陣時初等變換的載體。
  • 對於任意矩陣，都存在多個初等矩陣，左乘右乘該矩陣將其化為標准型。。
  • 若矩陣A與矩陣B等價，存在可逆矩陣X,Y，滿足XAY=B。

• 矩陣可逆的兩個充分必要條件：

  • 矩陣A可逆\(\Longleftrightarrow\)A的標准形為單位陣E。
  • 矩陣A可逆\(\Longleftrightarrow\)矩陣A可以表示成一些初等矩陣的乘積。

• 初等變換法求逆矩陣：

  • A^-1 =Q₁Q₂Q₃……Q_t \(\Longrightarrow\) A^-1=Q₁Q₂Q₃……Q_tE，E=Q₁Q₂Q₃……Q_tA。
    • 解釋：將A通過一系列初等行變換得到E之時，施加相同的初等行變換在 E可以使E變為A^-1。

• 對於初等行變換的解題思路總結：

  • 首先處理第一列，再處理第二列，第三列……
  • 每次處理一整行，對整行進行操作。
  • 第一列處理好之后，第一行將不再主動參與運算。
  • 處理過程中使用箭頭符號，不能使用等號。
  • 只能做初等變換。
  • 如果左邊無法化成單位陣，說明該矩陣不可逆。因為初等變換對於矩陣行列式的值改變的是非零倍。
  • 在計算結束后，通過矩陣與逆矩陣的乘積為單位陣進行驗算。

矩陣的秩

• k階子式：給定一個矩陣，任取k行k列，交叉處構成

• 矩陣的秩：非零子式的最高階數。

• 矩陣秩的表示：r(A)

  • r是rank的縮寫。
  • 零矩陣的秩等於零，即r(O)=0。
  • 如果A是m\(\times\)n的矩陣，那么0\(\leq\)r(A)\(\leq\)min(m,n)。
    • 若r(A)=m，則意味着取了所有的行，稱為行滿秩。
    • 若r(A)=n，則意味着取了所有的列，稱為列滿秩。
    • 若r(A)=min(m,n)，則意味着該矩陣為行滿秩或者列滿秩，統稱為滿秩。
    • 若r(A)<min(m,n)，稱為降秩。
  • 如果A是方陣，並且為滿秩，則意味着A可逆，|A| \(\neq\) 0。
    • 證明：因為A為方陣，所以A為n \(\times\) n，說明n階子式 \(\neq\) 0，|A| \(\neq\) 0，因此A可逆。

• 矩陣秩的計算：矩陣r(A)=r，有一個r階子式不為零，那么r+1階子式全為零。

• 階段形矩陣：

  • 若有零行，零行在非零的下邊。
  • 自上而下左起首非零元左邊零的個數隨行的增加而嚴格增加。
  • 宋氏階梯折線法：橫線可跨多個數，豎線只跨一個數。
  
  
  

• 行簡化階梯形矩陣

  • 什么是階梯形矩陣：
    • 非零行的首非零元是1。
    • 首非零元所在列的其余元素是0。
  • 宋氏三步走：
    • 畫折線，判斷階梯形。
    • O畫出首非零元。
    • 首非零元畫豎虛線，開頭是1其余都為0，確保線上只有一個1，其余項都是零。
  • 一般而言，矩陣的秩等於非零行的行數。
  • 定理：初等（行和列）變換不改變矩陣的秩。
  • 求矩陣秩的方法：初等變換成階梯形再統計非零行數。
  • 如果在計算的時候出現多個解，一定要帶入驗算。

• 秩的性質：

  • r(A)=r(A^T)
  • 任意矩陣乘以可逆矩陣秩不變（可逆矩陣可以表示為一系列初等方陣的積）。
    • 推論：若矩陣A_m×n為任意矩陣，P_m為m階可逆方陣，Q_n為n階可逆方陣，因此：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)