1行列式按行按列展開法則
設\(a_{1j}，a_{2j}，…，a_{nj}(1≤j≤n)\)為n階行列式\(D=|a_{ij}|\)的任意一列中的元素，\(A_{1j}，A_{2j}，…，A_{nj}\)分別為它們在D中的代數余子式，則\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+…+a_{nj}A_{nj}\)稱為行列式D的依列展開。
例如，在一個三階行列式D中，划去元素\(a_{ij}(i=1, 2,3; j=1, 2,3)\)所在的第i行和第j列的所有元素，剩下的元素按照它原有的位置得到的一個二階行列式稱為元素\(a_{ij}的余子式\)，記作\(M_{ij}\)。而將\((-1)^{i+j}*M_{ij}\)稱為元素\(a_{ij}\)的代數余子式，記作\(A_{ij}\)，即\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
定理1 (行列式按列展開規則) n階行列式d等於它的任意一列元素與它們對應的代數余子式之積的和。即：
定理2如果行列式D的第s列各元素與第t列各元素的代數余子式對應相乘后再相加，則當s≠t時，其和為零。則有：
因為行列式行列等價，所以上述定理對行也適用。
定理二即為代數余子式性質。
2矩陣
2.1矩陣運算：
2.1.1加法：
通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個m×n矩陣A和B的和，標記為A+B，一樣是個m×n矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加后的值。例如：
也可以做矩陣的減法，只要其大小相同的話。A-B內的各元素為其相對應元素相減后的值，且此矩陣會和A、B有相同大小。例如：
2.1.2矩陣數量乘法
\(t*D=|a_{ij}*t|\)
滿足分配律，結合律
2.1.3矩陣乘法
設A為 的矩陣，B為 的矩陣，那么稱 的矩陣C為矩陣A與B的乘積，記作 ，其中矩陣C中的第 行第 列元素可以表示為：
如下所示：
滿足結合律，分配律。但不滿足交換律。
即一般情況下：AB不等於BA，如果等於，則稱A和B是可交換的。
2.1.4矩陣轉置
設A為m×n階矩陣（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：
把m×n矩|陣A的行換成同序數的列得到一個n×m矩陣，此矩陣叫做A的轉置矩陣，記做
或
例如矩陣
的轉置矩陣為
一般的，若有等於，則稱該矩陣是對稱的。
2.2矩陣與行列式
一個方陣A的行列式為|A|，有\(|A^T|=|A|,|q*A|=q^n|A|,|AB|=|A||B|,|AB|=|BA|\)
2.3矩陣求逆
2.3.1伴隨矩陣
設矩陣
。
方陣
的各元素的代數余子式\(A_{ij}\)所構成的如下矩陣\(A^*\)：
該矩陣\(A^*\)稱為矩陣\(A\)的伴隨矩陣
2.4.1逆矩陣
設A是一個n階矩陣，若存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則稱方陣A可逆，並稱方陣B是A的逆矩陣。記作\(B=A^{-1}\)
則有:
1.\({A^{-1}}^{-1}=A\)
2.若A可逆，則|A|不等於0，
3.若|A|不等於0，則A可逆，且\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}*{A^*}\)
4.\({q*A}^{-1}=\dfrac{1}{q}*A^{-1}\)
5.{(AB)}{-1}=B{-1}*A^{-1}
6.\({(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T\)
7.\(A^a*A^b=A^{a+b},{(A^a)^b}=A^{ab}\)
2.5矩陣的多項式（非矩陣多項式）
多項式之間可交換
引用
多引用於百度百科