線性代數之——行列式公式及代數余子式

計算機通過主元來計算行列式，但還有另外兩種方法，一種是大公式，由 \(n!\) 項置換矩陣組成；另一種是代數余子式公式。

• 主元的乘積為 \(2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 5\)。

• 大公式有 \(4!=24\) 項，但只有 5 個非零項。

\[det A = 16-4-4-4+1 = 5 \]

16 來自於對角線上 4 個 2 的乘積，其余的通過公式我們也都可以找到。

• 代數余子式公式用第一行的數字 2，-1，0， 0分別乘以它們的代數余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。

1. 主元公式

消元過程會讓主元 \(d_1,\cdots,d_n\) 最后出現在矩陣 \(U\) 的對角線上，如果沒有行交換，那么有：

\[det A = (det L)(det U) = (1)(d_1d_2\cdots d_n) \]

如果有行交換，那么有 \(PA=LU\) 而且有 \(|P| = \pm1\)，所以

\[det A = \pm(d_1d_2\cdots d_n) \]

如果主元的個數少於 \(n\)，那么 \(det A=0\)，矩陣是不可逆的。

• 例 1

• 例 2

\[det A = 2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} \cdots *\frac{n+1}{n} = n+1 \]

而且，我們可以看到，前 \(k\) 個主元來自於矩陣 \(A\) 左上角大小為 \(k×k\) 的矩陣 \(A_k\)。

\[det A_k = d_1d_2\cdots d_k \]

假設沒有行交換，那在我們消元的過程中，有 \(A_k = L_kU_k\)，因此

\[\frac{det\space A_k}{det \space A_{k-1}}=\frac{det\space U_k}{det \space U_{k-1}} \to d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_{k-1}d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}} \]

2. 大公式

大公式直接利用矩陣中的每一個元素來計算行列式，一個 \(3×3\) 矩陣的計算公式如下所示。

注意到，每一項乘積的三個元素都分別來自於矩陣中的三行和三列，而其前面的符號其實是由置換矩陣來決定的。

由行列式的線性性質我們可以將一個 \(2×2\) 矩陣的行列式分成四項：

其中，第一個和第四個行列式為 0，因為它們有全零列。因此，只余下 \(2!=2\) 項需要計算。

對於一個 \(3×3\) 的矩陣，其行列式可以分成 27 項，但只有 6 個非零項。

前面三個置換矩陣有偶數次行交換，因此其行列式為 1；而后面三個置換矩陣有奇數次行交換，因此其行列式為 -1。

因此，矩陣 \(A\) 的行列式是 \(n!\) 項簡單行列式的和，每一項的系數是 1 或者 -1，其中簡單的行列式是從每一行每一列中選取一個元素組成。

3. 代數余子式公式

利用行列式的線性性質，我們將第一行的三個元素分別提取出來，可以得到。

其中，括號里面的項稱為代數余子式（cofactor），它們是 \(2×2\) 矩陣的行列式。第一行貢獻出因子 \(a_{11}，a_{12}，a_{13}\)，余下的行貢獻出代數余子式 \(C_{11}，C_{12}，C_{13}\)，然后行列式的值就是 \(a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\)。

接下來，我們需要注意符號。要計算 \(C_{1j}\)，我們划掉第 \(1\) 行第 \(j\) 列來產生一個大小為 \(n-1\) 的子矩陣 \(M_{1j}\)，然后

\[C_{1j} = (-1)^{1+j} det \space M_{1j} \]

\[det \space A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n} \]

注意，對其它行來說，也有同樣的情況。對 \(C_{ij}\) 來說，我們划掉第 \(i\) 行第 \(j\) 列來產生一個大小為 \(n-1\) 的子矩陣 \(M_{ij}\)。

\[C_{ij} = (-1)^{i+j} det \space M_{ij} \]

\[det \space A = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots +a_{in}C_{in} \]

同時，行列式也可以沿着某一列進行計算。

\[det \space A = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots +a_{nj}C_{nj} \]

代數余子式公式在矩陣中有許多零時是非常有用的。

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