一、行列式的公式
以二階行列式為例：我們可以這么做$a=a+0, b=0+b, c=c+0, d=0+d$，則
在反復利用行列式的單行可拆性后，A分解成4項，每一行只有一個非零元素。二階行列式計計算的是圖形的面積
對於α來說，由於構成行列式的兩個向量<a, 0>和<c, 0>是在同一個維度上的直線，所以二者圍成的面積是0；同理，δ也一樣
最終：$|A|=ad - bc$
這種方法對於更高階的行列式也同樣適用，三階行列式按照每一行只有一個非零元素的原則全部展開后將長達33項，這將占用長長的篇幅
可以考慮一個能夠縮減展開式的辦法。根據行列式的幾何意義，行列式計算的是n維圖形在n維空間中的n維體積，3階行列式計算的自然是三維空間的體積
如此一來，只有三個向量分別指向三個不同維度時，才能保證體積不等於0，因此三階行列式可以展開成：
現在只剩下3! = 6項，每一項都可以通過行列式的行交換性質變成上三角行列式（或者本身就是上三角行列式），這樣就可以得到行列式的最終值：
現在可以歸納出n階行列式的公式：
下標的數字項表示行號，希臘字母表示列號（實際數量可能遠超過希臘字母的數量，暫且用希臘字母代替）。這相當於是列號的排列，在每一項中，n個列標都各用一次。負號的目的是為了應對行交換的情況。
根據公式，對於n階單位矩陣來說，只有主對角線的一項不是0，所以單位矩陣的行列式的值是1
示例 計算A的行列式：
通過消元法計算是正確的選擇，通常也應該這么做，實際上不難看出這個A是一個奇異矩陣，所以它的行列式等於0
現在用行列式的公式來驗證這個結論。根據公式， $|A|$的大多數展開項都等0，沒有被淘汰的只有兩項，二者相加等於0：
第一個行列式是負值，因為它需要用1、3行進行一次行交換來變成上三角矩陣：
二、代數余子式
代數余子式是從行列式的公式中提取出來的，它的作用是把$n$階行列式化簡為$n – 1$階行列式。我們以三階行列式為例，看看代數余子式是什么。根據行列 式的公式，3階行列式展開，將得到：
$|A|=a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right)-a_{12}\left(a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31}\right)+a_{13}\left(a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}\right)$
這實際上式選定第一行的一列，然后考慮各種可能的排列，為了突出重點，寫成下面這樣：
$|A|=a_{11}\left(......\right)-a_{12}\left(......\right)+a_{13}\left(......\right)$
注：根據第任何一行展開都將得到同樣的結果，下面是根據第二行展開：
$|A|=-a_{21}\left(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{32}\right)+a_{22}\left(a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31}\right)-a_{23}\left(a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31}\right)$
按列展開也可以，比如按第一列展開：
$|A|=a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right)-a_{21}\left(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{32}\right)+a_{31}\left(a_{12} a_{23}-a_{13} a_{22}\right)$
括號中由剩余因子組成的表達式就是代數余子式（第二項把符號移到了括號中，下節會說明原因），比如$a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}$是$a_{11}$的代數余子式。可以用更直觀的方式表達$a_{11}(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32})$
$a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right)=a_{11}\left|\begin{array}{ll}{a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a_{11}} & {\square} & {1} \\ {\square} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {\square} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|$
三、代數余子式的符號
$-a_{12}\left(a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31}\right)$可以表示為：
$-a_{12}\left(a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31}\right)=-a_{12}\left|\begin{array}{ll}{a_{21}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{33}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{\square} & {a_{12}} & {\square} \\ {a_{21}} & {\square} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {\square} & {a_{33}}\end{array}\right|$
注意到上式有一個負號，我們一般不需要$-a_{12}$的代數余子式，所以$a_{12}$的代數余子式需要把符號移到括號中：
$-a_{12}\left(a_{21} a_{33}-a_{23} a_{31}\right)=a_{12}\left(-a_{21} a_{33}+a_{23} a_{31}\right)$
代數余子式本身就是行列式，只是它的正負號需要單獨判斷，判斷方法是根據選定元素行號和列號之和的奇偶性。用$C_{ij}$表示$a_{ij}$的代數余子式，當$i + j$是偶數時，行列式取正號，是奇數則取負號，比如三階行列式中$C_{12}$的行列號之和是3，它對應的代數余子式取負號。如果有一個五階行列式，它的每一項的代數余子式的符號是這樣分布的：
$\left|\begin{array}{cccc}{+} & {-} & {+} & {-} & {+} \\ {-} & {+} & {-} & {+} & {-} \\ {+} & {-} & {+} & {-} & {+} \\ {-} & {+} & {-} & {+} & {-} \\ {+} & {-} & {+} & {-} & {+}\end{array}\right|$
四、行列式的代數余子式展開
把某個行列式的用代數余子式展開實際上也是求行列式的另一種方法，可以表示成：
$|A|=a_{11} C_{11}+a_{12} C_{12}+\cdots a_{1 n} C_{1 n}=\sum_{i=1}^{n} a_{1 i} C_{1 i}$
代數余子式本身是$n - 1$階行列式，它可以繼續展開成$n - 2$階行列式……如此展開下去，直到1階行列式為止，其核心思想是把一個復雜的高階行列式轉換成多個簡單的低階行列式
由於行列式根據任何一行展開都可以，所以：
$|A|=a_{k 1} C_{k 1}+a_{k 2} C_{k 2}+\cdots a_{k n} C_{k n}=\sum_{i=1}^{n} a_{k i} C_{k i}$
五、二階行列式的代數余子式
用代數余子式可以解釋二階行列式的計算公式。二階行列式可以用一階代數余子式展開：
$\left|\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{cc}{\square} & {\square} \\ {\square} & {d}\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}{\square} & {\square} \\ {c} & {\square}\end{array}\right|=a d-b c$
由於$b$是第1行第2列，$1 + 2 = 3$是奇數，所以$b$對應的代數余子式$C_{12}$是以負號開頭的
六、致謝
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