行列式(記為\(|A|\))
定義
一個矩陣的行列式我們定義為\(\sum_{p\ is \ permutaion}(-1)^{\sigma(p)} \times\prod_{i=1}^na_{i,p_i}\)
其中\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序對個數
性質
百度百科
求法
高斯消元
余子式(記為\(m_{i,j}\))
定義
\(m_{i,j}\)表示遠矩陣去除第\(i\)行和第\(j\)列之后剩下矩陣的行列式
代數余子式(記為\(M_{i,j}\))
定義
我們稱\(M_{i,j}=m_{i,j}\times (-1)^{i+j}\)為代數余子式
與行列式的關系
任意一個\(n\)階矩陣的行列式可以用某一行或者某一列的代數余子式展開，即
\[|A|=\sum_{i=1}^nM_{x,i}\times A_{x,i} \]
證明
首先考慮有一個\(n\)階矩陣
\[A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\ A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\ & & \ldots & & &\\ A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n} \end{pmatrix} \]
考慮\(|A|\)可以用某一行按照以下方式展開
\[\begin{vmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\ A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\ & & \ldots & & &\\ A_{x,1} & 0 & 0 & \ldots & 0 &\\ & & \ldots & & &\\ A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\ A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\ & & \ldots & & &\\ 0 & A_{x,2} & 0 & \ldots & 0 &\\ & & \ldots & & &\\ A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n} \end{vmatrix} + \ldots + \begin{vmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\ A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\ & & \ldots & & &\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & A_{x,n} &\\ & & \ldots & & &\\ A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n} \end{vmatrix} \]
這個直接根據行列式的定義我們可以得到\(|A|\)的某種展開式
\[|A|=\sum_{i=1}^nA_{x,i}\times m_{x,i}\times (-1)^y \]
其中\(y\)是一個未知變量，接下來我們考慮\(y\)的取值應該是什么
首先考慮一個這樣矩陣的行列式
\[\begin{pmatrix} A & 0 \\ B & C\\ \end{pmatrix} \]
明顯這樣的矩陣的行列式就是\(|A|\times |C|\)
然后考慮行列式有個性質:交換矩陣中任意兩行或者兩列，行列式取反。那么我們考慮將\((3)\)中矩陣進行交換變成類似\((5)\)中的矩陣，即變成
\[\begin{pmatrix} A_{x,i} & 0 & 0 & \ldots & 0 &\\ A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\ A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\ & & \ldots & & &\\ A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n} \end{pmatrix} \]
顯然他的行列式就是\(A_{x,i}\times m_{x,i}\)，發現我們一共會進行\(x+i-2\)次交換，那么對應會原來的矩陣他的行列式就是\(A_{x,i}\times m_{x,i}\times (-1)^{x+i-2}\)，因為\(m_{x,i}\times (-1)^{x+i-2}=m_{x,i}\times (-1)^{x+i}=M_{x,i}\)，所以我們就證明了\((1)\)式
性質
對於一個矩陣的代數余子式，如果我們將矩陣的某一行\(i\)與代數余子式的某行\(j\)相乘，當\(i=j\)時，結果為\(|A|\)，否則結果為\(0\)
證明
考慮任意一個\(n\)階矩陣
\[A= \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\ A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\ & & \ldots & & &\\ A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n} \end{pmatrix} \]
考慮他的行列式的展開式\(|A|=\sum_{i=1}^nM_{x,i}\times A_{x,i}\)，如果我們將矩陣中除第\(x\)行之外的任意一行復制下來替換成第\(x\)行，那么行列式為\(0\)，並且這一行的代數余子式不變，所以就有\(\sum_{i=1}^nM_{x,i}A_{y,i}=0\)
伴隨矩陣
定義
對於一個矩陣\(A\)，我們設他的代數余子式矩陣為\(M\)，那么代數余子式\(M\)構成如下矩陣
\[\begin{pmatrix} M_{1,1} & M_{2,1} & M_{3,1} &\ldots & M_{n,1} &\\ M_{1,2} & M_{2,2} & M_{3,2} & \ldots & M_{n,2} &\\ & & \ldots & & &\\ M_{1,n} & M_{2,n} & M_{3,n} & \ldots & M_{n,n} \end{pmatrix} \]
那么我們記\(A^*\)表示\(A\)的伴隨矩陣，即代數余子式矩陣的轉置
性質
對於一個矩陣\(A\)，如果\(A\)可逆，那么存在下面等式
\[AA^*=|A|I \]
證明
考慮代數余子式的性質：對於一個矩陣的代數余子式，如果我們將矩陣的某一行\(i\)與代數余子式的某行\(j\)相乘，當\(i=j\)時，結果為\(|A|\)，否則結果為\(0\)
因為\(A^*\)實際上就是代數余子式矩陣的轉置，那么當我們用\(A\)去右乘\(A^*\)得到的矩陣，只有在\(i=j\)時才會有值，且值為\(|A|\)，其他位置都是\(0\)
