線性代數18.行列式的性質

之前我們學習了很多長方矩陣的知識，現在我們將把注意力轉向方陣，探討行列式和特征值。

行列式的性質

方陣的行列式記為 \(det A=|A|\) 。

我們從行列式的性質開始,慢慢引出她的定義。

1. 單位矩陣的行列式值為1，即 \(detI=1\)
2. 交換矩陣的行，行列式的值的符號相反

由前兩個性質可以推出，置換矩陣的行列式：

\[\text{detP}= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} 1 & \text{even} \\ -1 & \text{odd} \\ \end{array} \\ \end{array} \]

置換矩陣是行交換的單位陣，當單位陣交換次數為偶數（不變）時，置換矩陣的行列式為1，當單位陣交換的次數為奇數時，置換矩陣的行列式為-1

以 \(2*2\) 矩陣為例

\[\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=1 \]

\[\left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right|=-1 \]

一般 \(2*2\) 的行列式，值為 \(ad-bc\) 。

\[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|=ad-bc \]

性質3分為3a和3b

3. a.保持其余 \(n-1\) 行不變，用數 \(t\) 乘以一行，\(t\) 可以提取出來

   \[\left| \begin{array}{cc} ta & tb \\ c & d \\ \end{array} \right|= t\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right| \]

   b.保持其余 \(n-1\) 行不變

   \[\left| \begin{array}{cc} a+a^{'} & b+b^{'} \\ c & d \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{cc} a^{'} & b^{'} \\ c & d \\ \end{array} \right| \]

這兩個性質是關於線性組合的，只改變一行，其余行不變。性質3同樣使用在第 \(n\) 行。

注意，性質3說的是某一行的線性組合，她只能和自己線性組合，而不是與其余行或者所有行的線性組合。所以

\[det(A+B)≠detA+detB \]

從這三個性質，我們可以得到更多的性質。

4. 如果兩行相等，行列式為0
   \[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ a & b \\ \end{array} \right|=0 \]

性質4在 \(n*n\) 矩陣里面也適用。

比如在 \(7*7\) 矩陣中，兩行相等，行列式為0。因為根據性質2，交換兩行（交換一次），行列式取反；又因為兩行相等，交換后仍然是同一個矩陣，沒變，所以只有行列式為0滿足條件。

5. 從行\(k\) 減去行 \(x\) 的 \(i\) 倍（消元），行列式不變。

在消元法中，矩陣\(A\) 的行列式等於矩陣 \(U\) 的行列式，即 \(detA=detU\)

證明，由性質3b我們可以對組合進行拆分

\[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c-ia & d-ib \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d\\ \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{cc} a & b \\ -ia & -ib \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d\\ \end{array} \right|+0 \]

6. 若有一行為0，那么矩陣的行列式為0

可以用3a證明

\[\left| \begin{array}{cc} 0*a & 0*b \\ c & d \\ \end{array} \right|= 0\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & d \\ \end{array} \right|=0 \]

7. 上三角矩陣的行列式等於對角線上元素的乘積，即主元的乘積

\[|U|=\left| \begin{array}{cccc} d_1 & \square & \square & \square \\ 0 & d_2 & \square & \square \\ ... & ... & ... & \square \\ 0 & 0 & 0 & d_n \\ \end{array} \right|= d_1*d_2*...*d_n \]

我們可以通過消元得到上三角矩陣，主元的乘積就是行列式，在消元過程中如果需要換行，則需要在前面加上符號。

證明：

根據性質5，消元后行列式不變，所以我們通過消元將 \(U\) 化簡為 對角矩陣

\[D=\left( \begin{array}{cccc} d_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & d_n \\ \end{array} \right) \]

計算行列式，利用性質3a，可以將每列主元提取出來,又根據性質1，單位陣行列式為1.可得

\[|D|=(d_n*...*d_2*d_1)\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|= d_1*d_2*...*d_n \]

如果需要換行，還需要在結果加上對應的正負號。

如果某主元為0，我們將得到全零行，利用性質6，行列式為0。

8. 當且僅當 \(A\) 是奇異矩陣時，\(det A=0\)；當且僅當 \(A\) 可逆，\(detA≠0\).

如果 \(A\) 是奇異矩陣，通過消元法化簡為上三角矩陣后，會得到全零行，行列式為0，也可以說，矩陣不可逆就是奇異矩陣，行列式為0。如果 \(A\) 可逆，主元都不為0，行列式等於主元相乘。

9. 矩陣乘積的行列式等於各自行列式的乘積，即
   \[det(AB)=(detA)*(detB) \]

需要說明的是，她們不具有線性性質，\(det(A+B)≠(detA)+(detB)\)

例子1：

求 \(A^{-1}\) 的行列式

我們知道

\[A^{-1}A=I \]

兩邊同時取行列式，利用性質9分開

\[(detA^{-1})*(detA)=1 \]

所以

\[detA^{-1}=1/detA \]

利用性質9，我們還可以知道

\[detA^{2}=(detA)*(detA) \]

假設在\(n*n\) 矩陣,如果將矩陣 \(A\) 乘以2，她的行列式為

\[det(2A)=2^{n} detA \]

因為我們消元后可以提取出每一行的公因子2，所以有 \(n\) 個2.

10. 對於\(A\) 轉置的行列式，等於 \(A\) 的行列式，即
    \[detA^{T}=detA \]

轉置不會改變行列式的值。

在\(2*2\) 矩陣中我們可以驗證這一點

\[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|=ad-bc \]

轉置交換了行向量和列向量，根據這點，我們可以引出 全零列 的概念。所有行的性質在列上同樣適用。

如果存在全零列，行列式為0。

交換兩列也會改變行列式的符號。

根據性質10，行和列的性質是一樣的。

證明：

\[\begin {align} &|A^T| = |A|\\ 消元\rightarrow &|U^TL^T|=|LU|\\ 性質9\rightarrow &|U^T||L^T|=|L||U|\\ \end {align} \]

根據性質7，三角矩陣的行列式都等於對角線上元素相乘，\(L、L^T\) 是對角線上都是1的三角矩陣， 所以 \(|L|=|L^T|=1\) ，\(|U|=|U^T|=d_1*d_2*...*d_n\) 。所以等式兩邊相等，證畢。

證明的關鍵在於把矩陣化簡為三角矩陣，再化簡為對角陣。