這一篇我們來介紹下行列式的性質:
首先，我們了解一下行列式的轉置行列式。
事實上，它的定義在上一篇就已經介紹過了，不過沒有點明:
交換一個行列式的行標和列標所構成的行列式就是該行列式的 轉置行列式
然后關於轉置行列式有：
任一行列式與其轉置行列式相等。
這一點，也就是我們在上一章中關於行列式的兩種計算方式，已經證明。
另外，交換行列式的兩行(列)會改變該行列式的符號，這一性質在后面的章節中會經常用到。
交換兩行(列)操作用符號表示為:
ci <-> cj 或 ri <-> rj
行列式中有兩項相同的話，那么行列式為0，因為互換兩行會得到D = -D。
另一個常用的性質是：
將行列式的某行(列)同乘一個數值等同於將行列式乘上該數，記作 ri * k（或 ci * k）。
同樣，除法作為乘法的逆操作，也同樣適用於該性質，記作 ri / k（或 ci / k）。
由上述兩個性質，又能推出：
若有兩行（列）成比例，那么，行列式也為0。
還有一個用於拆分行列式的性質：
若將行列式中任一行或列拆成兩數之和，如：
| a11 ...... a1k+a1k` ...... an1 |
| a21 ...... a2k+a2k` ...... an2 |
D = | a31 ...... a3k+a3k` ...... an3 |
| ...... |
| an1 ...... ank+ank` ...... ann |
那么它們能夠杯拆成如下兩個行列式：
| a11 ...... a1k ...... a1n | | a11 ...... a1k` ...... a1n |
| a21 ...... a2k ...... a2n | | a21 ...... a2k` ...... a2n |
D = | a31 ...... a3k ...... a3n | + | a31 ...... a3k` ...... a3n |
| ...... | | ...... |
| an1 ...... ank ...... ann | | an1 ...... a4k` ...... ann |
由這個性質我們可以推出：
將任意一行（或列）乘上某個數值加到一行（或列）上，行列式不變。
證明是 拆分為2個行列式后，前者構成的矩陣為0。
這一性質可以用於將行列式划為形如下圖的上三角行列式：
| a11 a12 a13 a14 a15 | | 0 a22 a23 a24 a25 | | 0 0 a33 a34 a35 | | 0 0 0 a44 a45 |
| 0 0 0 0 a55 |
上三角行列式的特別性質就是其值等於其主對角線各元素的乘積。