線性代數的本質(5)——行列式

打破認知觀的一節，之前學習行列式都是從逆序數開始學起，學習行列式的性質，做大量計算練習，這里直接告訴我們行列式的值代表面積/體積，建立了與矩陣、線性變換的聯系，真的是一語驚醒夢中人！

5.0 總結

(1)行列式的意義

• 單位面積/單位體積縮放或者拉升的比例
• 線性變換對空間壓縮或者拉升的比例

線性變換會對空間進行擠壓或者拉伸，我們通過追蹤空間基向量的變換，來查看單位面積(二維)/單位體積(三維)的面積或者體積縮放比例，而這個縮放比例，對應的就是行列式的值。

• 二維空間中行列式的值表示平行四邊形的面積， 三維空間中行列式的值表示平行六面體的體積
  

(2)我們就建立了線性變換、矩陣、行列式之間的關系。

(3)行列式值為0 表示將空間壓縮到更低的維度

(4) 矩陣的列向量線性相關行列式的值0

 

 

5.1 二維空間的行列式

A.行列式的意義

在線性變換的時候，有的線性變換起到空間擠壓的作用，有的線性變換起到了空間拉伸的作用，那么測量變換到底對空間拉伸或者擠壓了多少。 我們可以追蹤變換后基向量的面積大小。從這個層面上，建立了 “矩陣與行列式之間的關系”。

行列式的意義--面積的縮放發小

首先我們看一下剪切變換帶來的面積變化？經過計算可得，剪切變換不僅帶來了空間的擠壓，而且保持面積不變。(如下圖)

 

 

剪切變換面積保持不變

我們只要追蹤基向量構成的單位面積的變化，因為其他區域面積變化的比例大小與單位面積變化的比例保持一致，這樣就可以知道空間中任意區域面積變化的比例，這是因為線性變換保持“網格線平行且等距變換”。

任意平行區域的面積縮放比例--線性變換的性質相關

對於空間中任意區域的面積，借助微積分的思想，我們可以采用足夠小方格來逼近區域的面積。

 

 

不規則區域面積求解

B.行列式值為0表示把空間擠壓為一條直線或者一個點。

只要檢驗行列式的值是否為0，就能夠判斷線性變換是否將空間擠壓到更小的維度。

• 線性變換將空間擠壓為一條直線

擠壓為一條直線

• 線性變換將空間擠壓為一個點

擠壓為一個點

C.行列式的值為負代表什么？

我們采用基向量來描述：

• 初始狀態，向量在向量的左側
• 經過變換，向量在向量的右側

這樣的結果就是空間取向發生了變換，即將整個空間翻轉了一遍。（如下圖）

為什么負值與空間取向有關?

以二維空間為例，基向量保持不變，基向量 逆時針逐漸靠近

• 在與重合前，空間壓縮越來越嚴重，意味着行列式的值逐漸趨近於0，
• 當在與重合時，行列式的值為0；
• 繼續按照這個方向移動，這樣行列式的值繼續減小為負值。

5.2 三維空間的行列式

A.行列式的意義

三維空間中行列式的值代表着體積的縮放比例，我們關注的是單位立方體進行線性變換后的體積變化，對應行列式的值表示對應平行六面體的體積。

 

 

行列式為0，意味着空間被壓縮為一個平面、一條直線、甚至是一個點。

矩陣線性相關 行列式的值0 ；

B.三維空間行列式的值為負代表什么？

三維空間坐標系我們默認采用右手法則，（食指表示 ,中指表示 ,拇指表示 ）

 

 

右手法則

當空間變換后，仍然采用（食指表示，中指表示，拇指表示 ），這時候就只能用左手法則表示，這就意味着空間取向發生了翻轉，行列式的值為負。

5.3 行列式計算的直觀理解

這個公式直觀的理解就是：

，表示底為,高為的平行四邊形的面積

 

 

,仍然表示底為 ,高為 的平行四邊形的面積

 

 

當行列式斜對角線的元素及 均不為0時，bc項就會告訴平行四變形在對角方向拉伸或者壓縮了多少，bc項代表的含義如下圖：

 

 

可以看出，行列式的值與面積有着緊密的聯系。

5.4 行列式的運算規律

用計算行列式的值來解釋等式為什么成立會比較繁瑣，我們采用行列式的幾何意義來解釋將會比較簡單：

• 等式右邊：先經過變換，將面積縮放倍，然后經過變換，將面積再次縮放倍
• 等式左邊：經過變換一次性進行、 后，整體面積縮放的比例為

顯然兩者變換的方式是等價的，帶來的面積縮放比例也是一致的，因此等式左右兩邊成立。

5.5 總結

(1)行列式的意義

• 單位面積/單位體積縮放或者拉升的比例
• 線性變換對空間壓縮或者拉升的比例

線性變換會對空間進行擠壓或者拉伸，我們通過追蹤空間基向量的變換，來查看單位面積(二維)/單位體積(三維)的面積或者體積縮放比例，而這個縮放比例，對應的就是行列式的值。

• 二維空間中行列式的值表示平行四邊形的面積， 三維空間中行列式的值表示平行六面體的體積

(2)我們就建立了線性變換、矩陣、行列式之間的關系。

(3)行列式值為0 表示將空間壓縮到更低的維度

(4) 矩陣的列向量線性相關行列式的值0