行列式的本質是什么？

本文轉載自查看原文 2017-04-16 15:40 19648 數學

作者：童哲
鏈接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817
來源：知乎

行列式這個“怪物”定義初看很奇怪，一堆逆序數什么的讓人不免覺得恐懼，但其實它是有實際得不能更實際的物理意義的， 理解只需要三步。這酸爽~

1，行列式 det(A)

是針對一個 $n\times n$ 的矩陣

而言的。

表示一個

維空間到

維空間的線性變換。那么什么是線性變換呢？無非是一個壓縮或拉伸啊。假想原來空間中有一個

維的立方體（隨便什么形狀），其中立方體內的每一個點都經過這個線性變換，變成

維空間中的一個新立方體。

2，原來立方體有一個體積 $V_{1}$ ，新的立方體也有一個體積 $V_{2}$ 。

3，行列式 det(A)

是一個數對不對？這個數其實就是 $V_{2}$ $\div$ $V_{1}$ ，結束了。

就這么簡單？沒錯，就這么簡單。

所以說：行列式的本質就是一句話：

行列式就是線性變換的放大率！

理解了行列式的物理意義，很多性質你根本就瞬間理解到忘不了！！！比如這個重要的行列式乘法性質：

$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

道理很簡單，因為放大率是相乘的啊~！

你先進行一個

變換，再進行一個

變換，放大兩次的放大率，就是式子左邊。
你把“先進行

變換，再進行

變換”定義作一個新的變換，叫做“

”，新變換的放大律就是式子右邊。

然后你要問等式兩邊是否一定相等，我可以明確告訴你：too simple 必須相等。因為其實只是簡單的把事實陳述出來了。這就好像：

“ 你經過股票投資，把1塊錢放大3被變成了3塊錢，然后經過實業投資，把3塊錢中的每一塊錢放大5倍成了5塊錢。請問你總共的投資放大率是多少？”

$3\times 5=15$

翻譯成線性代數的表達就是：

$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

這還不夠！我來解鎖新的體驗哈~

上回咱們說到行列式其實就是線性變換的放大率，所以你理解了：
$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

那么很自然，你很輕松就理解了：
det(AB)=det(BA)

so easy，因為
$det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

同時你也必須很快能理解了

“矩陣可逆” 完全等價於 “ $det(A)\ne 0$ ”

因為再自然不過了啊，試想 det(A)=0

是什么意思呢？不就是線性變換

把之前說的

維立方體給拍扁了啊？！這就是《三體》中的”降維打擊”有木有！！！如來神掌有木有！！！直接把3維立方體 piaji一聲~一掌拍成2維的紙片，紙片體積多少呢？當然是 0 啦！

請注意我們這里說的體積都是針對

維空間而言的，

就表示新的立方體在

維空間體積為0，但是可能在 n-1

維還是有體積的，只是在

維空間的標准下為0而已。好比一張紙片，“2維體積”也就是面積可以不為0，但是“3維體積”是妥妥的0。

所以凡是 det(A)=0

的矩陣

都是耍流氓，因為這樣的變換以后就再也回不去了，降維打擊是致命性的。這樣的矩陣必然是沒有逆矩陣 $A^{-1}$ 的。這就是物理意義和圖象思維對理解數學概念的重要性。

當然要證明也是小菜一碟輕而易舉的：

由 $AA^{-1}=I$

可知 $det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1$

這怎么可能啊~？ det(A)=0

了，那么 $det(A^{-1} )$ 等於多少呢？毫無辦法，只能不存在。一個矩陣怎么可能行列式不存在呢？只能是因為 $A^{-1}$ 不存在。所以

自然不可逆。

YES！竟然真的過1000了，我來加點兒燒腦的，第一次看以下結論如果沒有毀三觀亮瞎雙眼的刺激感，請接受阿哲的膝蓋：

傅里葉變換也可以求行列式！！！

是的你沒有聽錯，大名鼎鼎的傅里葉變換 $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 居然也可以求行列式！！！

首先一定有很多人要問責我，是不是沒有學過行列式，因為按照絕大多數教科書來說，行列式是這樣定義的：

$det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{} sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i}$

然后還有什么好說的，拿到一個矩陣各種化簡然后算就好了唄，可是怎么說傅里葉變換也可以求行列式？傅里葉變換又不是一個矩陣，更別說矩陣元 $A_{ij}$ 了。我在痴人說夢嗎？

但是，等等！橋度麻袋，“傅里葉變換”里面有個"變換"，難道它也是“線性變換”？！！！

一檢查，尼瑪還真的是。所有函數 f(x)

就組成了一個向量空間，或者說線性空間。可是為什么呢？從高中咱們就熟悉的 f(x)

明明是函數啊，怎么就變成了向量

呢？向量

不是一個

維空間中的箭頭嗎？長得也不像啊。

其實 “所有 f(x)

組成的集合” 確實滿足一切線性空間的定義，比如：

1，向量 f(x)

和向量

可以相加，並且有交換律 f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

2，存在零向量

，即處處值為零的函數

3，任何一個向量 f(x)

都存在一個與之對應的逆向量 -f(x)

，使得相加之和等於零向量 f(x)+(-f(x))=0(x)

以及存在數乘以及分配率等性質…… 總之“所有向量 f(x)

組成的集合”完美滿足線性空間的8條黃金法則。

艾瑪真是亮瞎了俺的鈦合金左眼，原來咱們熟悉的函數 f(x)

身世可不一般啊，其實它是一個掩藏得很好的向量！！！對，我沒有說錯，因為所有函數 f(x)

組成的集合構成了一個線性空間！而且還是無窮維的線性空間！！！阿哲校長感動得哭了 T____T

好，下面准備亮瞎鈦合金右眼吧~

一旦接受了向量 f(x)

是向量的設定，周圍的一切都變得有趣起來了！軼可賽艇！！！

接下來不妨思考一下，傅里葉變換 $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 是把一個函數 f(x)

變成了另一個函數

，難道不可以理解為把一個線性空間中的向量 f(x)

變成了另一個線性空間中的向量 F(k)

嗎？我整個人都咆哮了！！！

而且這個變換是妥妥的線性的，完美地滿足線性變換的定義：

$A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2}$ 以及 $A(k \times v_{1})=k\times Av_{1}$

因為積分變換的線性性：

f(x)+g(x)

的傅里葉變換 $=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx$ $=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=$ f(x)

的傅里葉變換+

的傅里葉變換

加法達成。當然數乘也輕松滿足：

$\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$

於是乎，我們通過以上內容知道了一個重要的結論：

傅里葉變換其實也是線性變換，所以也可以求行列式 ！！！

（其實傅里葉變換作為一個線性變換不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如 $f(x)=e^{-x^{2} /2}$ ，以及其他很多很多牛逼的東東，恭喜你又一扇新世界的大門被打開了。千萬不要小看傅里葉變換，比如量子力學不確定性原理的秘密就都在這里了）

言歸正傳那么傅里葉變換神秘的行列式的值 det(F)

究竟是多少呢？難道這個無窮維線性變換也可以求出行列式嗎？

那阿哲就把 det(F)

求出來給你看：

很明顯的問題是這是一個比較困難的問題，如果不太困難的話評論中應該有人po出了答案。因為求傅里葉變換的行列式讓我們覺得沒有工具可以用，行列式的定義式毫無用武之地。畢竟沒有誰能夠寫出傅里葉變換的 $\infty \times \infty$ 矩陣表達式並套用公式。

所以一定要用到其他的化簡辦法，例如對稱性啊等等。不妨先回顧一下之前的結論，對於任何可逆線性變換

有如下性質：

$det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1$

如果把傅里葉變換

看做是一個無窮維的

，那么也一定滿足這個性質。所以只要求出了傅里葉變換的逆變換的行列式，求一個倒數就得到了傅里葉變換的行列式。

艾瑪~ 問題變得更難了。傅里葉變換的逆變換？還好我學過。。。

若傅里葉變換是： $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$

則它的逆變換是： $f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk$ （說明傅里葉變換可逆，因為表達式都出來了）

現在的問題是，正負變換，我都不會求行列式，唯一知道的是 $det(F)\times det(F^{-1} )=1$ 為之奈何？我們還需要至少一個表達式能夠反映二者的關系，連立起來才能夠求解。

沒問題，因為這兩個變換真是太像了，像到幾乎完全對稱。差異點僅僅在於逆變換多一個乘積系數 $\frac{1}{2\pi }$ ，以及積分因子 $e^{ikx}$ 多了一個負號。除此之外完全是同一個線性變換。而積分因子 $e^{ikx}$ 多一個負號是什么意思？意味着復數空間的手性定義相反，

變成了

，左手變成右手，或者說虛數部分取負號實數部分不變。這樣的手性改變，並不會改變線性變換的體積放大率（之前的知識）。於是乎在線性變化的方法率的意義下，傅里葉變換和它的逆變換放大率是一樣的（還差一個乘積系數 $\frac{1}{2\pi }$ ）。

於是也就是說 $det(F^{-1} )=\frac{1}{2\pi } det(F)$

結合之前的式子 $det(F)\times det(F^{-1} )=1$

我們很容以得到 $det(F)=\sqrt{2\pi }$

（更嚴格來說更對稱的傅里葉變換版本 $F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 的行列式為1）

我去，真的可以求啊。是的，你已經求出來了，雖然神一般的無窮維行列式的計算公式並沒有出現，但你確實求出來了。而且阿哲再附送大家一個彩蛋：

都說求導可以把一個函數 f(x)

變成另一個函數

，如果我們把“求導這個操作”

當做是一個線性變換，發現其實也是完全合理的：

$D: f(x)\rightarrow f'(x)$

線性性完美地滿足:

$D: k_{1} f(x)+k_{2} g(x)\rightarrow k_{1}f'(x)+k_{2}g'(x)$

那么請問"求導作為函數空間下的線性變換行列式”等於多少呢？

思考一下。。。

再思考一下。。。前方劇透請小心手滑！！！

。。。

det(D)=0

因為，它是不可逆的！

你要問我茲次不茲次？我可以明確告訴你，不可逆的線性變換都是耍流氓，行列式都等於零。不要沒事就搞個大新聞。

（全劇終，其他文章連載繼續。時間太少更新不夠勤，請多包涵。另外數學中的嚴格性在本文中並不能體現，也請海涵。）

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