在應用中，經常會碰到需要對某個矩陣的行列式進行求導的情況。而行列式的計算方法比較復雜，如果將它展開成后計算，會比較麻煩，因此最好直接記住一些結論。
本文以計算\(\dfrac{\partial |A|}{\partial A}\)和\(\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A}\)為例，介紹如何對行列式求導，並希望大家可以記住結論。
首先，為防止大家線性代數的內容忘得差不多了，我們先以方陣\(A\)（\(n\times n\)）為例，回顧一下與行列式有關的基本概念：
- minor（余子式，或者叫余因式）\(M\)：是一個\(n\times n\)方陣，其中元素\(M_{ij}\)就是把原方陣\(A\)去掉第\(i\)行、第\(j\)列之后再取行列式的值；
- cofactor（代數余子式）\(C\)：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)；
- adjugate（伴隨矩陣）\(A^*\)：\(A^*_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}\)，即\(A^*=C'\)；
而方陣\(A\)行列式，就可以用某一行（比如第\(i\)行）的cofactor \(C\)的形式來表達（當然也可以用\(A^*\)）：$$|A|=\sum_{j}A_{ij}C_{ij}$$
另外，若\(A\)是非奇異矩陣，則有
\[A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}=\dfrac{C'}{|A|} \]
現在，再來看對\(|A|\)的求導。對於\(A\)的某個元素\(A_{ij}\)，將行列式寫成\(A\)的第\(i\)行展開的形式，我們有
\[\dfrac{\partial |A|}{\partial A_{ij}} = \dfrac{\partial \sum_{j}A_{ij}C_{ij}}{\partial A_{ij}}=C_{ij} \]
第二個等式是因為，對於任意的\(j\)，在\(C_{ij}\)的計算中都是剔除了\(A_{ij}\)的，也即它和\(A_{ij}\)的變動沒關系。
因此，我們有
\[\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = C = (A^*)' \]
如果\(A\)非奇異，那么有
\[\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = (|A|A^{-1})'= |A|(A^{-1})' \]
對於\(\ln |A|\)，利用鏈式法則，有
\[\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A} = \dfrac{1}{|A|} |A|(A^{-1})' = (A^{-1})' \]