1. 定義
范德蒙德行列式定義為：
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) \equiv \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x^2_1 & x^2_2 & \cdots & x^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & \cdots & x^{n-1}_n \end{matrix} \right| \]
可以證明，范德蒙德行列式等於
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i>j} (x_i - x_j). \]
2. 證明
行列式中一行加上另一行的倍數，整個行列式的值不變。這個可以目測得到，這里就不寫證明了。利用這個結論，對 Vander Monde 行列式進行行變換：
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & (x_2 - x_1)x^{n-2}_2 & \cdots & (x_n-x_1)x^{n-2}_n \end{matrix} \right|\\ = (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x^2_2 & x^2_3 & \cdots & x^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{n-2}_2 & x^{n-2}_3 & \cdots & x^{n-2}_n \end{matrix} \right|， \]
如此遞推下去，即得
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i>j}(x_i - x_j). \]
3. 應用：置換群群元的奇偶性
若有置換群元
\[R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ r_1 & r_2 & \cdots & r_n \end{pmatrix}, \]
現在定義，R 作用在 Vande Monde 行列式上，使它變為
\[R V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = V(x_{r_1}, x_{r_2}, \cdots, x_{r_n})， \]
上式右邊是一個確定的值，而 \(R\) 若寫成對換的連乘，由於每次對換給 Vander Monde 行列式添加一個負號，所以 \(R\) 的對換連乘形式中，對換個數的奇偶性一定是唯一的，不會因為對換形式（不唯一）的改變而改變。