行列式

1 行列式使用如下性質定義

1）單位矩陣行列式值為 1，，對於任意單位矩陣均成立；

2）當矩陣交換一行后，行列式值改變符號，如置換矩陣的行列式值為 （根據行交換次數決定）；

3）矩陣任意行線性變換導致行列式值產生線性變換：

      ， ；

     使用以上三條基本性質，可以推導更多性質：

4）如果矩陣兩行相等，行列式值為 0；

     利用性質2，交換兩相等行，行列式值改變符號，故行列式值必須為 0；

5）對矩陣任意兩行做如下運算：行2 = 行2 - k * 行1，新矩陣行列式值不發生改變，

     利用性質3， ；通過該性質，可以知道矩陣消元法僅改變矩陣行列式值的符號，；

 

6）如果矩陣中存在一行全為 0， 矩陣行列式值為 0；

      利用性質5，將全零行改寫為任意非零行與全零行的和，得到兩個全零行，故原矩陣行列式值為 0；

7）上三角矩陣或者下三角矩陣行列式值為對角元素之積，；

     a. 利用性質5，使用消元法可以對非零元素進行消元處理，最終形成對角矩陣，其對角元素保持不變，即 det U = det D；

     b. 利用性質3， ;

     c. 利用性質1，由於 ，則上三角矩陣行列式值為為對角元素之積；

8）如果矩陣為奇異矩陣，行列式值為 0；如果矩陣為非奇異矩陣，行列式值不為 0；

      當矩陣為奇異矩陣時，使用消元法至少一行全零行，性質5 表明 , 根據性質6，det U = 0；

      當矩陣為非奇異矩陣時，使用消元法得到滿秩，性質5 表明 ，根據性質7得 ；

9）矩陣乘積的行列式等於矩陣行列式的乘積，；使用該性質，有 ，；

      a. 構造 ；

      b. 當 A 為單位矩陣時，，滿足性質1；

      c. 當交換矩陣 A 中任意兩行，矩陣 AB 中對應兩行也發送交換，d(A) 符號發生改變，滿足性質2；

      d. 矩陣 A 中任意行線性變換，矩陣 AB 中對應行發生同樣線性變換，d(A) 值發生同樣線性變換，滿足性質3；

      e. 綜上，d(A) 滿足性質1，2，3，故 ，；

10）矩陣轉置后行列式不發生改變，；

      a. 假定在不需行變換下可對矩陣進行 LU 分解，；

      b. 利用性質9，；

      c. 由於矩陣 L 為三角矩陣，且對角元素均為1，；

      d. 由於矩陣 U 為三角矩陣，，因此，；

      e. 在矩陣 LU 分解時引入行變換，, 由於 ，故可忽略行變換影響；

 

2 行列式計算公式

   1）以3*3矩陣為例，使用行列式線性特性，將矩陣第一行進行分解：

      ；

  2）對分解后的三項對矩陣第二行再次分解：

     ，

     ，

     ；

  3）對分解后的九項第三行再次分解：

     ，

     ...... 

  4）通過以上分解，3*3 矩陣的行列式被分解為  個行列式的線性組合。在 27 個行列式中，有很大一部分值為 0，僅當各行元素不再同一列時，行列式值不為0。

       通過交換矩陣行，所有矩陣可變為對角矩陣，故行列式值公式可表示為：

      ，

     其中， 為  的全排列， 取決於在該排列下將矩陣變為對角矩陣的行變換次數的奇偶性，

     當行變換次數為奇數時，；當行變換次數為偶數時， 。

 

3 代數余子式

   使用代數余子式，可以將 N 維行列式改寫為 N - 1 維行列式得線性組合，降低計算量。方法如下：

   1）以 3*3 矩陣為例，其行列式值為

        

  2）提取公因子 ， 

       括號內部為余下 2*2 矩陣得行列式值（但符號可能相反）；

  3）將括號內記為對應元素得代數余子式，上式改寫為 ，；

  4）由於 ，因此也可以在列方向上分解行列式  。

 

4 行列式應用

  1）計算 

   使用 Gaussian-Jordan Method 可以通過消元法計算矩陣得逆，使用代數余子式概念可計算矩陣的逆，但效率會低於 Gaussian-Jordan Method。

   以 3*3 矩陣為例，解釋如下：

   a. 矩陣 A 與代數余子式構成的矩陣 C 的轉置相乘得：

      ；

   b. 上式中，如  等項表示原矩陣 A 使用第一行替代第二行構成的新矩陣 B 的行列式，由於 B 的第一行與第二行相等，故行列式值為 0；

       因此，只有當 a 與 C 的下標相同時，項  的值等於 A  的行列式值，故上式可化簡為：

       ；

   c. 進一步整理得 ，因此，。

   2）求解 Ax=b

   a. ，帶入 得 ；

   b. 向量 x 的各分量值 ，其分子部分為一個新矩陣  的行列式值，；

      因此，向量 x 的各分量值為 ，這就是 Cramer's Rule 。

   3）多面體的體積

   在 N 維空間中，行列式值表示多面體體積。如在二維平面中，給定兩條邊構成的平行四邊形面積等於以邊為行構成的矩陣的行列式值（絕對值）；

   在三維空間中，給定三條邊構成六面體的體積為對應矩陣的行列式值（絕對值）。證明如下：

   a. 當各條邊相互垂直時，；

       ， 

      ；

   b. 當各條邊不垂直時，如下圖所示，；

       由於 ，根據 a 結論，，因此，，結論得證。

       

 

 參考資料 Linear Algebra And Its Applications   Gilbert Strang