一、行列式

概念

行列式是行數和列數相等的數字陣列，本質是一個數。

n階行列式

&完全展開式

是所有取自n階行列式不同行不同列的n個元素的乘積之和

逆序數

從左到右依次選定數，選定數后面的一個數比選定數小則算作一個逆序，一個排列的逆序總數稱為逆序數

偶排列

逆序數為偶數的排列

行列式性質

• 行列式運算性質

1. 行列式轉置，行列式值不變
2. 兩行（或列）互換位置，行列式值變號
3. 某行（或列）有公因子k，可把k提出行列式記號外
4. 如果行列式某行（或列）是兩個元素之和，則可把行列式拆成兩個行列式之和
5. 把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式值不變

• 行列式等0性質

1. 兩行（或列）相同
2. 某一行（或列）元素全為0
3. 兩行（或列）元素對應成比例

行列式按行展開

n階行列式的值等於任意一行（列）元素與其對應代數余子式乘積之和

異乘變零定理

行列式的任一行（列）元素與令一行（列）元素的代數余子式的乘積之和為0

余子式

選定某一元素aij，划去該元素所在的行和列，余下的部分相對位置不變，組成的行列式稱為余子式。記作Mij

代數余子式

余子式乘上(-1)的i+j次方得到aij的代數余子式，記作Aij

行列式求值

上（下）三角行列式

主對角線元素的乘積

上(下)倒三角行列式

(-1)的n(n-1)/2次方 乘 副對角線元素乘積(n為行列式階數)

&拉普拉斯展開定理

選定k行，選定k列組成的k階子式 與 余子式（除去所在行、所在列剩下相對位置不變的行列式） 相乘，乘以(-1)的 選定k階子式所在行、所在列的行標和列標之和次方

&兩個特殊的拉普拉斯展開式

   |A *|    |A 0|
          =         =|A|乘|B|，
   |0 B|    |* B|

   |* A|   |0 A|
         =       =|A|乘|B|乘(-1)的m乘n次方(A為m階、B為n階行列式)
   |B 0|   |B *|

范德蒙德行列式公式

   |1         1       ...        1|
   |x1        x2      ...       xn|
   |x1^2      x2^2    ...     xn^2| = TT(xi - xj)
   |...       ...     ...      ...|
   |x1^n-1   x2^n-1   ...   x3^n-1|

    例：
                    令xj = 2;xi = -1，3；令xj = -1;xi = 3
    |1    1   1|
    |2   -1   3| = (-1-2)(3-2)(3-(-1))
    |..  ..  ..|

&克萊姆法則

適用於n個方程，n個未知量的方程組，|A|為系數行列式

推論

1. 對於非齊次方程組:

   • 系數行列式|A| != 0
   • xi = |Ai|/|A|（i=1,2,..n），|Ai|是第i列元素替換成方程組右端常數項構成的行列式
   • 系數行列式|A| != 0，則方程組有唯一解

2. 對於齊次方程組:

   • 系數行列式|A| != 0的充要條件是 方程組有唯一零解。若有非零解，充要條件是系數行列式|A|=0