定義 1：\(n\)階行列式即\(n\)級矩陣\(A = (a_{ij})\)的行列式規定為：
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} := \sum_{j_1j_2\dots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n} \]
其中\(\sum\)是對所有\(n\)元排列求和。
定義 2：上三角行列式
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]
定理 1：上三角行列式為主對角線上\(n\)個元素的乘積
定理 2：
\[|A| = \sum_{k_1k_2\dots k_n}(-1)^{\tau(i_1i_2\dots i_n)+\tau(k_1k_2\dots k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2s_2}\dots a_{i_nk_n} \]
證明：設\(n\)階行列式某一項為\((-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}\)
根據乘法交換律，通過\(s\)次兩個元素交換位置得\(a_{i_1k_1}a_{i_2s_2}\dots a_{i_nk_n}\)
即：\((-1)^{\tau(i_1i_2\dots i_n)} = (-1)^s(-1)^{\tau(123\dots n)} = (-1)^s\)
\((-1)^{\tau(k_1k_2\dots k_n)} = (-1)^s(-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)}\)
兩式相乘得：\((-1)^{\tau(i_1i_2\dots i_n)+\tau(k_1k_2\dots k_n)} = (-1)^{2s}(-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)} = (-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)}\)
推論：
\[\begin{aligned} |A| &= \sum_{j_1j_2\dots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n} \\ &= \sum_{i_1i_2\dots i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2\dots i_n)+\tau(12\dots n)}a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} \\ &= \sum_{i_1i_2\dots i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2\dots i_n)}a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} \end{aligned} \]