【機器學習｜數學基礎】Mathematics for Machine Learning系列之線性代數（2）：n階行列式、對換

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目錄

• 前言
• 1.3 n階行列式
• 1.4 對換
  • 1.4.1 排列的對換
    • 概念
    • 定理1
      • 內容
      • 證明
    • 推論
  • 1.4.2 行列式的另一種表示方法
    • 定理2
      • 內容
      • 證明
• 結語

前言

Hello！小伙伴！
非常感謝您閱讀海轟的文章，倘若文中有錯誤的地方，歡迎您指出～
 
自我介紹 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵稱：海轟
標簽：程序猿｜C++選手｜學生
簡介：因C語言結識編程，隨后轉入計算機專業，有幸拿過一些國獎、省獎...已保研。目前正在學習C++/Linux/Python
學習經驗：扎實基礎 + 多做筆記 + 多敲代碼 + 多思考 + 學好英語！
 
機器學習小白階段
文章僅作為自己的學習筆記 用於知識體系建立以及復習
知其然 知其所以然！

1.3 n階行列式

三階行列式為：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\]

從中我們可以發現規律：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\]

其中t為排列\(p_1p_2p_3\)的逆序數

進而推出n階行列式：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\]

特殊情況1：

\[\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & & \\ & \lambda_2 & & & \\ & & . & & \\ & & & . &\\ & & & & \lambda_n \end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n\]

特殊情況2：

\[\begin{vmatrix} & & & & \lambda_1 \\ &&& \lambda_2 &\\ && . &&\\ & . &&&\\ \lambda_n &&&& \end{vmatrix}= (-1)^\frac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2...\lambda_n （其中(-1)^\frac{n(n-1)}{2}為排列n、 n-1 ... 3、 2、 1的逆序數）\]

1.4 對換

1.4.1 排列的對換

概念

• 對換：在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動。
• 相鄰對換：在排列中，相鄰兩個元素進行對換

定理1

內容

一個排列中任意兩個元素對換，奇偶性發生改變

證明

首先證明相鄰對換的情況

設排列\(a_1...a_iabb_1...b_m\)

a和b對換，變成\(a_1...a_ibab_1...b_m\)

顯然，\(a_1...a_i\)、\(b_1...b_m\)這些元素的逆序數沒有發生變化

當a<b時

• 從ab變為ba，a的逆序數+1（a前面多了一個b），b的逆序數不變

當a>b時，

• 從ab變為ba，a的逆序數不變，b的逆序數-1（b前面少了一個a）

所以

排列中發生相鄰對換，奇偶性會發現變化（奇排列-> 偶排列 or 偶排列->奇排列）

再來證明一般情況

\(a_1...a_iab_1...b_mbc_1...c_n\) ,a與b發生對換，變為\(a_1...a_ibb_1...b_mac_1...c_n\)

我們可以先用\(b\)與\(b_m\)進行相鄰對換，變為\(a_1...a_iab_1...bb_mc_1...c_n\)

再用\(b\)與\(b_{m-1}\)進行相鄰對換，變為\(a_1...a_iab_1...bb_{m-1}b_mc_1...c_n\)
.
.
.
最后\(b\)與\(b_{1}\)進行相鄰對換，變為\(a_1...a_iabb_1...b_mc_1...c_n\)

一共經歷了m次相鄰對換

和\(b_m、b_{m-1}...b_2、b_1\)對換，一共就是m次

然后，我們再用\(a\)與\(b\)進行相鄰對換,變為\(a_1...a_ibab_1...b_mc_1...c_n\)

再用\(a\)與\(b_1\)進行相鄰對換,變為\(a_1...a_ibb_1a...b_mc_1...c_n\)
.
.
.
最后\(a\)與\(b_m\)進行相鄰對換,變為\(a_1...a_ibb_1...b_mac_1...c_n\)

一共經歷了（m+1）次相鄰對換

綜上

一共發生了m+（m+1）=2m+1次相鄰對換

從最開始的證明可以得出

2m+1次相鄰對換后，排列的奇偶性還是會發生改變
（交換1次，奇偶性發生轉變；交換2次，奇偶性不發生變化-->交換奇數次，奇偶性發生轉變；偶數次則不會。2m+1一定是奇數 ，當m為正整數時）

推論

齊排列變成標准排列的對換次數為奇數，偶排列變成標准排列的對換次數為偶數。

說明

首先，標准排列是逆序數為0的偶排列
 
從定理1可以得知，對換一次，奇偶性發生改變
 
若是齊排列，對換一次，奇->偶，再對換一次，偶->奇...
對換奇數次，最后變為了偶排列；
對換偶數次，最后變為奇排列。
 
所以齊排列變成標准排列的對換次數一定為奇數。
偶排列變成標准排列的對換次數為偶數同理可證。

1.4.2 行列式的另一種表示方法

n階行列式有：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\]

我們選擇任意一項：\(a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\)，其中1...i...j...n為自然排列，\((-1)^t\)中的t為逆序數

然后交換\(a_{ip_i}、a_{jp_j}\)，得到
\(a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}\)

我們來計算奇偶性的變化

首先，我們知道只是交換來兩個元素的位置，該項的值是不會發生變化的。

行標從 1...i...j...n 變為了 1...j...i...n，可以得出排列1...j...i...n的逆序數為是奇數，設為r

因為1...i...j...n逆序數為0，偶排列
根據排列任意元素對換，奇偶性改變，
1...j...i...n就變成了齊排列，那么其逆序數一定就是奇數

同樣，設\(p_1...p_j...p_i...pn\)（列標）的逆序數為\(t_1\),得到

\(a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}\)前面的正負符號為\((-1)^{r+t_1}\)

因為

\((-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t\)

\(p_1...p_i...p_j...pn\)的逆序數為t \(a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\)前面的系數為\((-1)^t\)
​ 
對換一次變為\(p_1...p_j...p_i...pn\) 奇偶性發生變化 其實就是乘以（-1）
（排列中，任意兩個元素發生對換，奇偶性發生變化，其實就是乘以（-1））
 
所以\((-1)(-1)^{t_1}=(-1)^t\)

又因為r為奇數，有

\(（-1）^r=-1\)

綜合下面兩個式子：

\[\begin{cases} (-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t\\ （-1）^r=-1 \end{cases} \]

得到：

\[(-1)^{r+t_1}=(-1)^r(-1)^{t_1}=(-1) * (-1)^{t_1}=(-1)*(-(-1)^t)=(-1)^t \]

推出：

\[(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}=(-1)^{r+t1}a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n} \]

說明

對換行列式中某一項兩個元素的位置，使得行坐標、列坐標同時發生變化，但是卻並不會改變該項的奇偶性。

一次交換不會改變奇偶性，那么多次交換也不會改變奇偶性

\((-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\)經歷若干次對換
列標排列\(p_1p_2...p_n\)一定可以變為自然排列（1 2 3... n）

設若干次變換后
列標排列變為了自然排列
行標排列設為\(q_1q_2...q_n\)，則有

\[(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn} \]

對於其中任意一項 \(a_{ij}\)，有

\[\begin{cases} a_{ij}=a_{ip_i}\\ a_{ij}=a_{q_jj} \end{cases} \]

得到

\[\begin{cases} j=p_i\\ i=q_j \end{cases} \]

說明由\(p_i\)可以確定唯一對應的一個\(q_j\)，比如\(2=p_3\) 說明 \(q_2=3\) 且唯一！

那么由\(p_1p_2...p_n\) 可以確定唯一的\(q_1q_2...q_n\)

定理2

內容

n階行列式也可以定義為：\(\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}\)

證明

​

首先，n階行列式有：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\]

令

\[\begin{cases} D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\\ D_1=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \end{cases} \]

從定理1最后的討論中可以得到：

D中任意一項\((-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\)有且只有一項D1中的某一項\((-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn}\)與之對應（q是可以有p確定的）；
 
同理，D1中任意一項\((-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}\)也有且只有D中的某一項\((-1)^ta_{1q_1}a_{2q_2}...a_{nq_n}\)與之對應
 
說明，D與D1中的任意一項都可以一一對應

可以得到\(D=D_1\)

所以

\[\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \]

結語

說明：

• 參考於 課本《線性代數》第五版 同濟大學數學系編
• 配合書中概念講解 結合了自己的一些理解及思考

文章僅作為學習筆記，記錄從0到1的一個過程

希望對您有所幫助，如有錯誤歡迎小伙伴指正～

我是 海轟ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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