麻雀雖小，五臟俱全。讓我們從線性方程組開始，探索二階行列式的奧秘吧！
一、解方程組
標准二元一次方程組
首先定義兩個二元一次方程的方程組標准式如下：
\[\left\{\begin{matrix} \tag{1} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{matrix}\right. \]
方程求解
為了解出\(x_1,x_2\)，我們引入變量\(A_{11},A_{21}\)，分別乘以式 \((1)\) 中相應等式，然后兩式相加得
\[(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21})x_1 + (a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21})x_2 = b_{1}A_{11} + b_{2}A_{21} \tag{2} \]
令\(A_{11},A_{21}\)滿足下列條件：
\[\begin{cases} (a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21})x_1 &= b_{1}A_{11} + b_{2}A_{21} \\ (a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21}) &= 0 \tag{3} \end{cases} \]
若\(a_{22}\neq0,A_{11}\neq0\)，由 \(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} = 0 \Rightarrow \cfrac{a_{12}}{a_{22}} = -\cfrac{A_{21}}{A_{11}}\)，
若取 \(A_{11} = -a_{22}, A_{21}=a_{12}\)，代入 \((3.1)\) 式中得
\[(-a_{11}a_{22} + a_{21}a_{21})x_1 = -b_{1}a_{22} + b_{2}a_{21} \tag{4} \]
若取 \(A_{11} = a_{22}, A_{21}=-a_{12}\)，代入 \((3.1)\) 式中得
\[(a_{11}a_{22} - a_{21}a_{21})x_1 = b_{1}a_{22} - b_{2}a_{21} \tag{5} \]
行列式的引入
觀察方程組 \((1)\) 的系數表，
\[\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \tag{6} \end{matrix} \]
比較\((4),(5)\)中 \(x_1\) 的系數，式 \((5)\) 中的系數看上去與式 \((6)\) 相近。由此，我們引入一個記法 行列式 ，其定義如下：
\[\begin{vmatrix} \tag{7} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]
於是式 \((5)\) 可以表示為
\[\begin{vmatrix} \tag{8} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}x_1 = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \]
令 \(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},|A_1|=\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}\) ，則若 \(|A|\neq0\) ，則
\[x_1 = \cfrac{ \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}=\cfrac{|A_1|}{|A|} \tag{9} \]
同理，可得\(|A_2|=\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}\)
\[x_2 = \cfrac{ \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}=\cfrac{|A_2|}{|A|} \tag{10} \]
二、行列式的性質
由式 \((7)\) 中行列式的定義，我們發現二階行列式有如下性質：
1. 上（下）三角行列式等於其主對角元素之積
\(|A| = a_{11}a_{22}\)
2. 若某一行（列）元素全部為0，則行列式為0
\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & b\\ 0 & d \end{vmatrix}=0d-0b=0 \]
\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & 0\\ c & d \end{vmatrix}=0d-0c=0 \]
3. 若用常數 \(k\) 乘以某一行（列），則得到的行列式為原行列式的 \(k\) 倍
\[\begin{vmatrix} ka & kb\\ c & d \end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)=k\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = k|A| \]
\[\begin{vmatrix} ka & b\\ kc & d \end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)=k\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = k|A| \]
4. 交換行列式不同的兩行（列），行列式的值改變符號
\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=-(cb-da)=-\begin{vmatrix} c & d\\ a & b \end{vmatrix} \]
\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=-(bc-ad)=-\begin{vmatrix} b & a\\ d & c \end{vmatrix} \]
5. 若行列式兩行（列）成比例，則行列式的值等於0。特別的，若行列式兩行（列）相同，則行列式的值等於0
\[\begin{vmatrix} ka & kb\\ a & b \end{vmatrix}=kab-kab=0 \]
\[\begin{vmatrix} ka & a\\ kc & c \end{vmatrix}=kac-kac=0 \]
6. 行列式加法：若某一行（列）元素均為兩項之和，則行列式可以表示為兩個行列式之和
\[\begin{vmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2\\ c & d \end{vmatrix}=(a_1+a_2)d-(b_1+b_2)c=(a_1d-b_1c)+(a_2d-b_2c)=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_2 & b_2\\ c & d \end{vmatrix} \]
\[\begin{vmatrix} a_1+a_2 & b\\ c_1+c_2 & d \end{vmatrix}=(a_1+a_2)d-b(c_1+c_2)=(a_1d-bc_1)+(a_2d-bc_2)=\begin{vmatrix} a_1 & b\\ c_1 & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_2 & b\\ c_2 & d \end{vmatrix} \]
7. 行列式的某一行（列）乘以某個數加到另一行（列）上，行列式的值不變
利用性質6和性質5可得
\[\begin{vmatrix} a+kc & b+kd\\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} kc & kd\\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \]
\[\begin{vmatrix} a+kb & b\\ c+kd & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} kb & b\\ kd & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \]
8. 行列式和其轉置具有相同的值
\[|A|=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc = ad - cb = \begin{vmatrix} a & c\\ b & d \end{vmatrix}=|A^T| \]
三、行列式性質應用
現在我們用行列式的性質來解二元一次方程組 \((1)\)
將 \(b_1,b_2\) 代入下面的行列式：
\[|A_1|=\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 & a_{12}\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}x_1 & a_{12}\\ a_{21}x_1 & a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{12}x_2 & a_{12}\\ a_{22}x_2 & a_{22} \end{vmatrix}=x_1\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=x_1|A| \]
結論與式 \((8)\) 相同😎。
從這里我們得到啟發，既然用二階行列式性質就可以求解二元一次方程組，那么只要從性質着手定義出一般的n階行列式，我們就可以未出n元線性方程組的解。—— 《高等代數學》(復旦大學 姚慕生 昊泉水 謝啟鴻)
