高等代數3 行列式
目錄
排列
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定義
由\(1,2,\cdots,n\)組成的一個有序數組稱為一個\(n\)級排列
\(n\)級排列的總數是\(n*(n-1)*(n-2)\cdots 2 *1\)。我們記\(1*2\cdots(n-1)*n=n!\)，讀為\(n\)階乘。
顯然\(12\cdots n\)也是一個\(n\)級排列。這個排列是按着遞增順序排起來的，稱為自然排序。
我們也考慮由任意\(n\)個不同的自然數所組成的排列，一般也稱為\(n\)級排列。
逆序數—奇排列、偶排列、對換
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逆序、逆序數
在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大於后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數。
排列\(j_1j_2\cdots j_n\)的逆序數記為\(\tau (j_1j_2\cdots j_n)\)
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奇排列、偶排列
逆序數為偶數的排列稱為偶排列，逆序數為奇數的排列稱為奇排列。
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對換
把排列中某兩個數的位置互換，而其余的數不動，就得到另一個排列。這樣的一個變換稱為一個對換。
顯然，連續進行兩次相同的對換，那么排列就還原了。因此，一個對換把全部\(n\)級排列兩兩配對，使每兩個配對的\(n\)級排列在這個兌換下互變。
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定理1
對換改變排列的奇偶性
推論：在全部\(n\)級排列中，奇偶排列的個數相等，各有\(n!/2\)個。
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定理2
任意一個\(n\)級排列與排列\(12\cdots n\)都可以經過一系列對換互變，並且所作對換的個數與這個排列有相同的奇偶性。
n級行列式
取一固定的數域\(P\)作為基礎。
定義
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定義
\(n\)級行列式
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | \]等於所有取自不同行不同列的\(n\)個元素的乘積
\[a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \]的代數和。這里\(j_1j_2 \cdots j_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一個排列，每一項(2)都按下列規則帶有符號：
當\(j_1j_2 \cdots j_n\)是偶排列時，(2)帶有正號；當\(j_1j_2 \cdots j_n\)是奇排列時，（2）帶有負號。這一定義可以寫成
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \sum_{j_1j_2\cdots j_n}{(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}} \]這里的\(\sum_{j_1j_2\cdots j_n}\)表示對所有\(n\)級排列求和。
上三角形行列式
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \]
對角形行列式
主對角元素以外的元素全為零的行列式稱為對角形行列式
\[\left| \begin{matrix} d & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 &0 & \cdots &d \\ \end{matrix} \right| = d_1d_2 \cdots d_n \]
性質
- 性質1 行列互換，行列式不變
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]
轉置行列式： 上式右邊的行列式稱為左邊行列式的轉置
- 性質2 一個數乘行列式的一行等於用這個數乘這個行列式，或說 一行的公因子可以提出去。
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =k \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]
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性質3 如果某一行是兩組數的和，那么這個行列式就等於兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行外全與原來行列式的對應行一樣。
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{1}+c_1 & b_2+c_2 & \cdots & b_n+c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| + \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]性質3，顯然可以推廣到某一行為多組數的和的情形
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性質4 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零。所謂兩行相同就是說兩行的對應元素都相等。
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =0 \] -
性質5 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ks_1 & ks_2 & \cdots &k s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =k \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =0 \]
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性質6 把一行的倍數加到另一行，行列式不變
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+ca_{k1} & a_{i2}+ca_{k2} & \cdots & a_{in}+ca_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| + \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ca_{k1} & ca_{k2} & \cdots & ca_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \] -
性質7 對換行列式中兩行的位置，行列式反號
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =- \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]
計算
一個\(n\)階行列式可以看成由一個\(n\)級方陣\(A\)決定的，對於矩陣可以進行初等行變換變為階梯形方陣，階梯形方陣的行列式是上三角形的，也就等於對角線元素的乘積。
由行列式的性質2,6,7可以得知方陣進行初等行變換對行列式的值影響。
按一行（列）展開
余子式
在行列式
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots& a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &\cdots& a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]
中划去元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列，剩下的\((n-1)^2\)=個元素按着原來的排法構成一個\(n-1\)級的行列式
\[M_{ij}=\left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots& a_{1，j-1} & a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots& a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots& a_{i+1，j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots& a_{n,j-1} & a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]
稱為元素\(a_{ij}\)的余子式，記為\(M_{ij}\)。
代數余子式
\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]
\(A_{ij}\)稱為元素\(a_{ij}\)的代數余子式。
在行列式中，一行元素與另一行元素的代數余子式的乘積之和為零。
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定理
設
\[d=\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | \]\(A_{ij}\)表示元素\(a_{ij}\)的代數余子式，則下列公式成立：
\[a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots +a_{kn}A_{in}= \begin{cases} d，&當k=i \\ 0, &當k \neq i \end{cases} \\ a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots +a_{nl}A_{nj}= \begin{cases} d，&當l=j \\ 0, &當l \neq j \end{cases} \]用連加號簡寫為
\[\sum_{s=1}^{n}{a_{ks}A_{is}}= \begin{cases} d，&當k=i \\ 0, &當k \neq i \end{cases} \\ \sum_{s=1}^{n}{a_{sl}A_{sj}}= \begin{cases} d，&當l=j \\ 0, &當l \neq j \end{cases} \]在計算數字行列式時，直接應用展開式不一定能簡化計算，因為把一個\(n\)級行列式的計算換成\(n\)個\(n-1\)級行列式的計算並不減少計算量，只是當某一行（列）中含有較多零時，應用（17）才有意義。但這個公式在理論上是重要的。
范德蒙行列式
行列式
\[d = \left | \begin{matrix} 1 &1 &1 & \cdots &1 \\ a_1 &a_2 &a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} &a_2^{n-1} &a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right | \]
稱為\(n\)級的范德蒙德行列式。
對任意的\(n(n\geq 2)\)級范德蒙德行列式等於\(a_1,a_2, \cdots ,a_n\)這\(n\)個數的所有可能的差\(a_i -a_j(1 \leq j <i\leq n)\)的乘積。
\[d = \left | \begin{matrix} 1 &1 &1 & \cdots &1 \\ a_1 &a_2 &a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} &a_2^{n-1} &a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right |= \prod_{1\leq j<i \leq n}(a_i-a_j) \]
由上式可以得出，范德蒙德行列式為零的充分必要條件是\(a_1,a_2, \cdots,a_n\)這\(n\)個數中至少有兩個相等。
克拉默法則—方程個數等於未知數個數
只考慮方程個數與未知數個數相等的情形。
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定理
如果線性方程組
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \]的系數矩陣
\[A_{nn}=\left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn} \\ \end{matrix} \right ) \]的行列式，即系數行列式 \(d=|A| \neq 0\).
那么線性方程組（19）有解，並且解是唯一的，解可以通過系數表為
\[x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},\cdots,x_n=\frac{d_n}{d} \]其中\(d_j\)是把矩陣中第\(j\)列換成方程組的常數項\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)所組成的矩陣的行列式，即
\[d_j= \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} &b_1 &a_{1,j+1} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} &b_2 &a_{2,j+1} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} &b_n &a_{n,j+1} &\cdots &a_{nn}\\ \end{matrix} \right |,j=1,2,\cdots,n \]
二元線性方程組
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2=b_2 \\ \end{cases} \]
當二級行列式
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right | \neq 0 \]
時，該方程組有唯一解，解為
\[x_1=\frac{\left | \begin{matrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \\ \end{matrix} \right |}{\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right |}, x_2=\frac{\left | \begin{matrix} a_{11}&b_1 \\ a_{21} &b_2 \\ \end{matrix} \right |}{\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right |} \]
三元線性方程組
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases} \]
當三級行列式
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right | \neq 0 \]
時，該方程組有唯一解，解為
\[x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},x_3=\frac{d_3}{d} \]
其中
\[d_1=\left | \begin{matrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right | d_2= \left | \begin{matrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{matrix} \right | d_3= \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{matrix} \right | \]