一：線性方程組
*線性方程組的基本問題：
1.如何判別線性方程組是否有解？
2.當線性方程組有解時，如何判定其解是否唯一？
3.如何求出有解線性方程組的解？
線性方程組的初等變換：
1.互換第i個方程與第j個方程的位置
2.方程組中第i個方程乘以非零常數h
3.第i個方程的k倍加到第j個方程上
*解線性方程組的方法：消元法
通解：方程組有無窮多個解時，對所有解的描述稱為方程組的通解。通解中一定包含任意常數（c）
*線性方程組的一下幾個事實：
1.方程組作為整體運算
2.未知數不參與運算
3.M x N線性方程組與m個有序數組一一對應
定 理 1：如果對線性方程組(L1)作有限次初等變換得方程組(L2),則方程組(L1) 與方程組 (L2) 是同解的
二：矩陣
實矩陣：元素都是實數的矩陣
行矩陣：1*n
列矩陣：n*1
1*1矩陣A=(a)等同於數a
零矩陣：元素都為0
*與線性方程組有關的矩陣：
1.系數矩陣
2.未知數構成的列矩陣
3.常數構成的列矩陣
4.增廣矩陣
*矩陣的初等行變換：
1.互換第i行與第j行 Ri <-> Rj
2.第i行乘以非零常數h hRi
3.第i行的k倍加到第j行 kRi + Rj
階梯型矩陣（T）：
定理2：對任意矩陣A存在階梯型矩陣T，使得A與T是行等價的。（A可以經有限次初等行變換華為階梯型）
T的主元：非零函數的第一個非零元1；
說明：T的主元個數等於其非零行個數，任意矩陣都存在其階梯型矩陣
*矩陣的階梯型不是唯一的，非零行的個數是唯一的
秩：矩陣A的非零行個數，記作r(A)
秩的性質：不大於其行數，也不大於其列數，即r<min{m,n}
簡化階梯型矩陣：
定義：階梯型矩陣T的主元所在列只有一個非零元
定理3：矩陣的階梯型的非零行的個數是唯一的
定理4：對任意矩陣A ，存在簡化階梯型矩陣，使得A與T是行等價的（或者A可以經過有限次初等行變換華為簡化階梯型矩陣T，T稱為A的簡化階梯型矩陣）
*任意矩陣的簡化階梯型是唯一的
關於線性方程組的基本定理：
*用增廣矩陣的簡化階梯型研究現行方程組的性質
*T的主元所在列對應的未知數稱為主元未知數，其余的未知數稱為自由未知數
根據∂=1或∂=0分兩種情況討論方程組：
情況1：∂=1這等價於r(A)<r(A, β)
方程組第r+1個方程為0=1，方程組無解
情況2：∂=0這等價於r(A)=r(A, β)
當r(A)=r(A, β)=n,方程組有唯一解
當r(A)<r(A, β),方程組有無窮多個解
定理5：設 (L1) , 是 m* n 線性方程組，A是（L1）的系數矩陣, 我們有如下結論:
(1)方程組(L1)有解的充分必要條件是
r(A)=r(A, β)
(2)方程組(L1)有解並且解唯一的充分必要條件是
r(A)=r(A, β)=n
進一步地,
A是 (L1)的系數
當(L1) , 的解不唯一時 (L1) . 有無窮多個解
齊次線性方程組：
定義：常數項都為0的線性方程組，一定有解
定理6：如果m*n齊次線性方程組（H1）的系數矩陣為A，那么（H1）有非零解的充分必要條件是r(A)<n
矩陣的線性運算：
矩陣的加法：C=A+B
矩陣的數乘：B=kA
矩陣的乘法運算：
說明：只有A的列數等於B的行數，A與B的乘積才有意義；AB繼承了A的行數，B的列數
線性方程組的矩陣表達形式：
1.Ax=β
2.x1a1+x2a2+….+xnan=β
3.有1,2可得x1a1+x2a2+….+xnan =AX
性質：矩陣乘法不滿足交換律和消去律
方陣：
定義：行數和列數相等的矩陣稱為方陣；行數和列數都為n的方陣稱為n階矩陣或n階方陣
單位矩陣：對角元都等於1，其他元素都等於零的方陣。N階單位矩陣記作In
性質：
1.s，t非負：AsAt=As+t,(As)t=Ast
2.A,B是同階方陣，m是正整數，如果AB=BA，則（AB）m=AmBm
方陣的多項式：
F(x)=a0Xm+a1Xm-1…..amX0
對於方陣A，方陣A的多項式為：
F(A)=a0Am+a1Am-1…..amA0
性質：若f(x)=g(x)h(x),則f(A)=g(A)h(A)
矩陣的轉置：
性質：
(AT)T=A
(A+B)T = AT+BT
(kA)T=kAT
(AB)T=BTAT
初等矩陣：
矩陣的初等列變換
1.互換第i列與第j列
2.第i列乘以非零常數h
3.第i列的k倍加到第j列
N階初等矩陣：對n階單位矩陣In做一次初等變換得到的矩陣
三種初等矩陣：
1.互換單位矩陣的兩行或兩列
2.用非零常數乘以單位矩陣的某行過某列
3.單位矩陣的某行（列）的常數倍加到另一行（列）
*初等矩陣的轉置是同種類型的初等矩陣
初等矩陣的應用：
引理1：如果互換A的第i，j兩行得到矩陣B，那么B=Em(i<->j)A
引理2：如果互換A的第i，j兩列得到矩陣C，那么C= A Em(i<->j)
引理3：如果A的第i行乘以非零常數h得矩陣B，那么B= Em(i(h))A
引理4：如果A的第i列乘以非零常數h得矩陣C，那么C= A Em(i(h))
引理5：如果A的第i行的k倍加到第j行得矩陣B，那么B= Em(i(k)->j)A
引理6：如果A的第i列的k倍加到第j列得矩陣C，那么B= A Em(i(k)->j)
定理1：設A是m*n矩陣，如果對A作一次初等行變換得矩陣B，相同的初等行變換作用到m階單位矩陣得初等矩陣p，則B=PA；如果對A作一次初等列變換得矩陣C，相同的初等行變換作用到n階單位矩陣得初等矩陣Q，則C=AQ；
反過來，如果存在初等矩陣p，是的PA=B，那么A作一次適當的初等行變換可得B；如果存在初等矩陣Q，使得AQ=C，那么對A作一次適當的初等列變換可得C
命題：如果P是初等矩陣，那么存在通解初等矩陣Q,使得PQ=QP=I；
推論1：n階初等矩陣P與單位矩陣In是行等價的，故有r(P)=n
推論2：吐過矩陣A與B是行等價的，則B與A也是行等價的
命題：如果矩陣A與B是行等價的，則AC與BC也是行等價的
矩陣的秩：
引理7：如果矩陣A與B是行等價的，則A與B的非零列個數相等；如果矩陣A與C是列等價的，則A與C的非零行個數相等
命題7：矩陣A的秩不大於A的非零行個數，也不大於A的非零列個數
引理8：如果矩陣A與B是等價的，則r（A）=r（B）(B的階梯型也是A的階梯型)
引理9：如果對矩陣A做一次初等列變換得
定理2：如果矩陣A與B是等價的，則r(A)=r(B)
定理3：m*n矩陣A的秩為r的充分必要條件是A等價於如下形式m*n矩陣
命題8：r(A)=r(AT)
定理4：r(AB)<=min{r(A),r(B)}
推論：如果m個矩陣A1，A2….Am的乘積有意義，則r(A1A2…Am)<=min{r(A1),…r(Am)}
定理5：設A為n階矩陣，如果r(A)=n，則A可以表示為有限個n階初等矩陣的乘積
可逆矩陣：
定義：設A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B，使得AB=BA=In，則稱A是可逆矩陣，稱B為A的逆矩陣，不是可逆矩陣稱為不可逆矩陣，A的可逆矩陣記作A-1
性質6：
1.如果A是可逆矩陣，那么A的逆矩陣是唯一的
2.如果A是可逆的，則A-1 也是可逆的，並且(A-1)-1=A
3.如果k為非零常數，A為可逆矩陣，那么kA也是可逆矩陣，並且(kA)-1=k-1A-1
4.如果A，B為同階可逆矩陣，則AB也是可逆矩陣，並且(AB)-1=B-1A-1
5.如果A是可逆的，那么AT也是可逆的，並且(AT)-1=(A-1)T
6.初等矩陣是可逆的，並且初等矩陣的逆矩陣仍然是初等矩陣
引理10：如果A是n階可逆矩陣，那么r(A)=n
引理11：有限個同階初等矩陣的乘積是可逆矩陣
定理6：設A為n階矩陣，下列論斷彼此等價：
1.A是可逆矩陣
2.r(a)=n
3.A可以表示為有限個n階初等矩陣的乘積
證明方式：循環論證
1 =>(引理10) 2 =>(定理5) 3 =>(引理11) 1
推論1：設A，B都是n階矩陣，如果乘積AB是可逆的，則A與B都是可逆的
推論2：設A是n階矩陣，並且線性方程組AX=β有解，AX=β的解唯一的充分必要條件是A為可逆矩陣。當A可逆時，AX=β的唯一解為X=A-1β.設A是n階矩陣，齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是A為不可逆矩陣
推論3：設A是m*n矩陣，如果p是m階可逆矩陣，Q是n階可逆矩陣，那么：
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
推論4：m*n矩陣A的秩為r的充分必要條件是存在m階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=Kr(m,n)
可逆矩陣的求法：
*用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣:
設A是n階可逆矩陣
1.構造n*(2n)矩陣(A,In);
2.用初等行變換將(A,In)化為簡化階梯型(In，A-1)
3.寫出A的逆矩陣A-1
分塊矩陣：
加法：數乘：乘法：轉置原理都一樣
定理7：如果A是m階可逆矩陣，D是n*t階矩陣，那么下列3個等式成立：
幾種常見的特殊方陣：
對稱矩陣與反對稱矩陣：設A是方陣，如果AT=A，則稱A為對稱矩陣；如果AT=-A，則稱A為反對稱矩陣
命題9：如果A是方陣，則A+AT是對稱矩陣，A-AT是反對稱矩陣
命題10：如果A是方陣，則A可以表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和
對角矩陣：設A是方陣，如果A的對角線以外的元素都為零，則稱A為對角矩陣
數量矩陣：對角元都相等的對角矩陣，對角元的值都為1的對角矩陣稱為單位矩陣
命題11：對角矩陣的秩等於其非零對角元的個數，因此對角矩陣A=diag（a1,a2…an）為可逆矩陣的充分必要條件是其對角元都不為零
准對角矩陣：設A是方陣，如果對A的行和列作相同的個、划分，得到的分塊矩陣中，對角線以外的塊都為零。
命題12：准對角矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是其對角快都是可逆的
上三角與下三角矩陣：設A是方陣，如果A的對角線以下（上）的元素都為零，則稱A為上（下）三角矩陣
命題13：上三角矩陣的轉置為下三角矩陣；下三角矩陣的轉置為上三角矩陣
定理8：上（下）三角矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是它的對角元都不為零，可逆上（下）三角矩陣的逆矩陣仍然是上（下）三角矩陣
命題14：上（下）三角矩陣的秩不小於其非零對角元的個數
矩陣論創始人：阿瑟凱萊
三：向量
向量與向量空間：
F：實數集或復數集
N元向量：設a1,a2,….an屬於F。列矩陣（a1,a2…..an）T稱為F上的n元向量
實向量：元素都為實數的向量
零向量：n個零構成的向量
分量：向量中的元素
Fn：F上所有n元向量構成的集合
向量的線性運算：加法，數乘
向量的線性運算構成了矩陣的線性運算的性質
向量空間：設V是Fn上的非空子集，如果①對於任意的α,β∈V，都有α+β∈V，②對任意的k∈F，α∈V都有kα∈V；
①V對向量的加法封閉；②V對數與向量的乘法封閉，
向量空間的子空間：
子空間：設V是F上的向量空間，W是V的非空子集，W也是F上的向量空間
命題1：如果V1，V2是F上的向量空間V的子空間，那么①V1與V2的交V1∩V2是V的子空間；②V1+V2={α+β：α∈V1，β∈V2}是V的子空間，稱為V1和V2的和
線性組合：設a1,a2…at是F上的向量空間V中的一組向量，對F中的任意常數k1,k2,…kt,表達式k1a1+k2a2+…ktat稱為a1,a2…an的線性組合。
命題2：L(a1,a2…at)是V的子空間
生成子空間：L(a1,a2…at)稱為由V中向量組a1,a2…at生成V的子空間
與矩陣有關的向量空間：
解向量：設A是F上的m*n矩陣，F上的線性方程組AX=β的解X是Fn中的一個向量，稱為AX=β的解向量
N（A）：稱為A的零空間，或者稱為齊次線性方程組AX=0的解空間
命題3：N（A）是F上的向量空間
由A的列構成的向量組：設A=（aij）是F上的m*n矩陣，將A的n個列記作a1，a2…an;a1，a2…an∈Fm稱為由A的列構成的向量組
A的列空間（A的值域）：A的n個列構成的向量組a1,a2,…an生成的Fm的子空間L(a1,a2…an)稱為A的列空間，也稱為A的值域，記作R（A）
由A的行構成的向量組：將A的m個行記作b1，b2…bn;b1，b2…bn∈Fn稱為由A的行構成的向量組
A的行空間（A的值域）：A的行構成的向量組b1，b2…bn生成的Fn的子空間L(b1，b2…bn)稱為A的行空間，記作R（AT）
按列構成的矩陣：設a1,a2…at是Fn中的向量組。n*t矩陣(a1,a2…at)稱為由向量組
a1,a2…at按列構成的矩陣
按行構成的矩陣：t*n矩陣稱為a1,a2…at按行構成的矩陣
向量組的線性相關與線性無關：
定義：設a1,a2…at是Fn中的向量組，如果存在不全為零的常數k1,k2…kt∈F,使得k1a1+k2a2….ktat=0;則稱a1,a2…at是線性相關的，否則是線性無關的
命題4：向量組a1,a2…at線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組AX=0有非零解。（即就k的解）
向量由向量組的線性表示：
線性表示：設a1,a2…at是Fn中的向量組。如果β∈Fn能夠表示為a1,a2….at的線性組合，即存在F中常數k1,k2,….kt,使得β=k1a1+k2a2….ktat,則稱向量β可由向量組a1,a2,….at線性表示
命題5：設向量a1,a2,….at, β∈Fn。向量β可由向量組a1,a2,….at線性表示的充分必要條件是線性方程組x1a1+x2a2+….+xtat=β有解
定理1：Fn中向量組a1,a2…at(t>=2)線性相關的充分必要條件是向量組a1,a2…at中至少存在一個向量可由其余向量線性表示
定理2：如果Fn中的向量組a1,a2…at，β線性相關，那么向量β可以由a1,a2…at線性表示，並且表示的方法是唯一的
向量組的線性表示：
線性表示：設a1,a2….as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組。如果a1,a2,….as中的每個向量都可由b1,b2…bt線性表示，則稱a1,a2…as可由b1,b2…bt線性表示
命題6：設a1,a2….at是Fn中的向量組,a1,a2…at中部分向量構成的向量組可由a1,a2….at線性表示
定理3：設a1,a2….as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組，那么下列結論成立：
①a1,a2…as可由b1,b2…bt線性表示的充分必要條件是存在t*s矩陣C使得（a1,a2…as）=（b1,b2…bt）C
②設（a1,a2…as）=（b1,b2…bt）C。如果b1,b2…bt是線性無關的，則C是唯一的；如果a1,a2…as是線性無關的，則r(C)=s
推論1:設a1,a2….as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組，如果設a1,a2….as可由b1,b2…bt 線性表示，並且a1,a2…as線性無關，那么s<=t
推論2：如果向量組a1,a2….as可由b1,b2…bt線性表示，b1,b2…bt可由r1,r2….ru線性表示，那么a1,a2…as可由r1,r2….ru線性表示
向量組的等價：
定義：設a1,a2…as與b1,b2,bt是Fn中的兩個向量組，如果a1,a2…as可由b1,b2….bt線性表示，b1,b2…bt也可以由a1,a2,….as線性表示，那么稱a1,a2…as與b1,b2…bt等價
命題7:向量組等價滿足①對稱性②傳遞性
引理1：a1,a2…as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組。如果a1,a2…as可由b1,b2…bt線性表示，那么L（a1,a2…as）包含於L（b1,b2…bt）
命題8：如果a1,a2…as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組，那么{a1,a2…as}等價於{b1,b2…bt}的充分必要條件是L（a1,a2…as）=L（b1,b2…bt）
向量組的秩：
極大線性無關組：設a1,a2….at是Fn中的一個向量組，ai1,ai2…air是a1,a2…at中的部分向量構成的向量組。如果
①ai1,ai2…air是線性無關的
②②對a1,a2…at中的任意向量ak,向量組ai1,ai2…air,ak都是線性相關的，那么稱ai1,ai2..air是a1,a2…ak的極大線性無關組，簡稱極大無關組
命題9：如果ai1,ai2…air是a1,a2…at的極大無關組，那么a1,a2…at中的任意向量ak都可由ai1,ai2…air線性表示
命題10：向量組和它的極大無關組是等價的（命題6和命題9）
命題11：想狼族a1,a2…at的極大無關組中向量的個數是唯一的
向量組的秩：向量組a1,a2…at的極大無關組中向量的個數稱為向量組的秩，記作r{a1,a2…at}
命題12：向量組的秩為r的充分必要條件是
①向量組中存在r個線性無關的向量
②向量組中任意r+1個向量（如果存在的話）都是線性相關的
命題13：向量組a1,a2…at線性相關的充分必要條件是r{a1,a2…at}<t
定理4：如果向量組a1,a2..as可由向量組b1,b2…bt線性表示，那么r{a1,a2….as}<=r{b1,b2…bt}
推論1：等價的向量組的秩相等
推論2：部分向量構成的向量組的秩<=向量組的秩
矩陣的秩與向量組的秩之間的關系：
引理2：如果對F上的m*n矩陣A作一次初等行變換得B，那么A的行構成的向量組與B的行構成的向量組等價
定理5：如果F上的m*n矩陣A與B是行等價的，那么①A的行構成的向量組b1,b2…bm與B的行構成的向量組r1,r2…rm等價②A的行空間與B的行空間相等，即R(AT)=R(BT)
引理3：如果T是簡化階梯型矩陣，那么T的秩等於它的行構成的向量組的秩，也等於它的列構成向量組的秩
定理6：F上的m*n矩陣A的秩等於它的行構成的向量組的秩，也等於它列構成向量組的秩
推論：方陣A可逆的充分必要條件是A的行（列）向量組線性無關
向量的基與維數：
基：設Fn的非空子集V是F上的向量空間，如果V中的（有序）向量組a1,a2…am滿足：①a1,a2…am線性無關②V中的向量都可由a1,a2…am線性表示，那么稱向量組a1,a2…am是V的一個基
命題14：如果a1,a2…am與b1,b2…bt都是向量空間V的基，則稱m=t
維數：F上的向量空間V中的基中向量的個數稱為V的維數，記作dimV
定理7：F上的m維向量 空間V中的任意m個線性無關向量a1,a2…am都是V的一個基，並且V=L(a1,a2…am)
命題15：如果V是F上的向量空間，a1,a2…as是V中的一個向量組，那么a1,a2…as的極大無關組是L(a1,a2…as)的一個基
命題16：如果正整數s<m，那么m維向量空間V中的任意s個線性無關向量a1,a2…as都可以擴充為V的基a1,a2…as,as+1,….,am.
向量關於基的坐標：設V是F上的m維向量 空間，a1,a2…am是V的一個基，對任意的a屬於V，存在唯一一組常數x1,x2…xm,使得a=x1a1+x2a2+…+xmam.表達式中的常數x1,x2…xm稱為向量a關於基a1,a2…am的坐標，xi是向量a關於基的第i個坐標
基變換與坐標變換：
過度矩陣：設a1,a2…am與b1,b2…bm是F上的m維向量空間V的兩個基，將 b1,b2,…bm表示為a1,a2,…am的線性組合，其矩陣形式為（b1,b2…bm）=（a1,a2…am） A,其中A稱為a1,a2…am到基b1,b2…bm的過度矩陣
定理8：如果V是F上的m維向量空間，那么①V的基a1,a2…am到基b1,b2…bm的過渡矩陣A是唯一的②V的基a1,a2…am到基b1,b2…bm的過渡矩陣A是可逆的，並且A-1是基b1,b2…bm到基a1,a2…am 的過渡矩陣
定理9：設a1,a2…am與b1,b2…bm是F上的m維向量空間V的兩個基，基a1,a2…am到基b1,b2…bm的過渡矩陣為A。對於任意的r屬於V，如果r關於a1,a2…am的坐標為X=（x1,x2…xm）T,r關於b1,b2…bm的坐標為Y=（y1,y2…ym）T,那么Y=A-1X
坐標變換公式：表達式Y=A-1X稱為向量r從基a1,a2…am到基b1,b2…bm的坐標變換公式
齊次線性方程組的解的向量形式：
齊次線性方程組有非零解的條件：如果AX=0是F上的m*n齊次線性方程組，那么下列論斷等價：①AX=0有非零解②r(A)<n③A的列向量組線性相關
定理10：如果F上的m*n矩陣A的秩為r，則齊次線性方程組AX=0的解空間N(A)的維數為n-r.
推論：設A是F上的m*n矩陣，則A的行空間R（AT）的維數與零空間的N（A）的維數滿足：dimR(AT)+dimN(A)=n
基礎解系：齊次線性方程組AX=0的解空間的基稱為方程組的基礎解系
非齊次線性方程組的解的向量形式：
非齊次向量方程組有解的條件：設A是F上的m*n矩陣，a1,a2…an是A的列向量組，那么下列論斷等價：①線性方程組AX=β有解②r(A)=r(A, β)③β∈R(A)=L(a1,a2…an)④{a1,a2…an}等價於{a1,a2…an, β}
定義：齊次線性方程組AX=0稱為非齊次線性方程組AX=β的導出方程組
引理4:如果r1,r2都是線性方程組AX=β的解，那么ξ=r1-r2是其導出方程組AX=0的解
引理5：如果r是線性方程組AX=β的解，ξ是其導出方程組AX=0的解，則r+ξ是AX=β的解
通解：設F上的m*n線性方程組AX=β有無窮多個解，即r（A）=r(A+B)<n。設γ0
是AX=β的一個特解，ξ1，ξ2…ξt是其導出方程組AX=0的一個基礎解系。如果γ是AX=β的解，則存在c1,c2…ct∈F，使得γ=γ0+c1γ1+c2γ2…ctγt.進一步地，當c1,c2…ct為F中任意常數時，γ=γ0+c1γ1+c2γ2…ctγt.是線性方程組的通解。
實向量的內積與正交：
內積：對任意的a=(a1,a2…an)T,b=(b1,b2….bn)T ∈Rn,下列實數aTb=a1b1+a2b2…anbn稱為a與b的內積，記作（a,b）
性質2：對任意a,b,r∈Rn，k∈R，我們有①（a,b）=(b,a)②（a+b,r）=(a,r)+(b,r)③（ka,b）=k(a,b)④（a,a）>=0,並且(a,a)=0當且僅當a=0.
單位向量：|a|=1
定理12：對任意的a,b∈Rn,我們有|（a,b）|<=|a|*|b| 柯西不等式
正交：設a,b屬於Rn，如果（a,b）=0,則稱a與b正交。零向量與任意向量正交
命題17：對任意的a,b∈Rn，我們有①|a+b|<=|a|+|b|;(三角不等式)②如果a與b正交，則|a+b|2=|a|2+|b|2 (勾股定理)
規范正交向量組：
正交向量組：設a1,a2…at都是向量空間Rn中的非零向量，如果向量組a1,a2…at中的向量兩兩正交，則稱a1,a2…at為Rn中的正交向量組
規范正交向量組：如果正交向量組a1,a2…at中的向量都是單位向量，則稱a1,a2…at為規范正交向量組。約定：只含一個非零向量的向量組是正交向量組
命題18：如果a1,a2…at是向量空間Rn中的正交向量組，則a1,a2..at是線性無關的
定理13：設V包含於Rn是R上的向量空間，如果a1,a2…at是V中的線性無關向量組，那么存在V中正交向量組b1,b2…bt使得{a1,a2…as}等價於{b1,b2…bs},s=1,2….t
定理14：：設V包含於Rn是R上的向量空間，如果a1,a2…at是V中的線性無關向量組，V中存在規范正交向量組η1，η2…ηt使得{a1,a2…as}等價於{η1，η2…ηs},s=1,2….t
規范正交基：
正交基：設V包含於Rn是R上的向量空間，a1,a2…at是V的基，如果a1,a2…am是正交向量組，則稱為V的正交基
規范正交基：如果a2,a2,am是規范正交向量組，則稱為V的規范正交基
定理15：R上的m維向量空間V中一定存在規范正交基
命題19：如果a1,a2…am是R上的向量空間V的規范正交基，則V中任意向量b在基a1,a2…am下的坐標為(b,a1),(b,a2)…(b,am),即b=(b,a1)a1+(b,a2)a2+…(b,am)am
四：行列式
二階行列式：
定義：由二階矩陣A矩陣決定的表達式a11a22-a12a21稱為A的行列式，記作detA=|A|=a11a22-a12a21,二階矩陣的行列式稱為二階行列式
二階行列式的性質：
性質1：如果互換A的兩列得B，則|B|=-|A|
推論：如果A的兩列相等，則|A|=0
性質2：如果A的某列乘以常數k得B，則|B|=k|A|
推論1：如果A含有0列，則|A|=0
推論2：如果k是常數，則det(kA)=k2detA
推論3：如果A的兩列對應元素成比例，則|A|=0
性質3：
性質4：如果A的某列的k倍加到兩一列得矩陣B，那么|B|=|A|
性質5：|AT|=|A|
N階行列式的定義：
余子陣：對於n階行列式A，划去A的一元aij所在的第i行和第j列，剩下的元素按原來位置排成的n-1階矩陣Mij，稱為aij在A中的余子陣
余子式：|Mij|稱為aij在A中的余子式
代數余子式：Aij=（-1）i+j|Mij|稱為aij在A中的代數余子式
N階行列式：A的行列式定義為a11A11+a22A22+….a1nA1n=∑a1jA1j，記作detA或|A|
行列式的性質：
性質6：如果互換n階矩陣A的第s,t兩列得到的矩陣為B，那么detB=-detA
推論：如果n階矩陣A有兩列相等，則detA=0
性質7：如果n階矩陣A的第t列乘以常數c得矩陣B，則detB=c*detA
推論1：如果n階矩陣A含有0列，則detA=0
推論2：如果n階矩陣A中有兩列對應元素成比例，則detA=0
推論3：如果A是n階矩陣，c是常數，則det(cA)=cndetA
性質8：設n階矩陣A的第t列的元素都是兩數之和，A，B，C這三個矩陣只有第t列不相等，其余列都相等，並且B與C的第t列之和等於A的第t列，那么|A|=|B|+|C|
性質9：如果n階矩陣A的第t列的k倍加到第s列得到的矩陣為B，那么detB=detA
行列式非零矩陣：
定義：設A是n階矩陣，如果detA≠0,則稱A是非奇異的，如果detA=0,則稱A是奇異的
引理1：初等矩陣是非奇異的，並且detEn(i<->j)=-1;detEn(i(h))=h(h≠0);detEn(i(k)->j)=1;
引理2：如果A是n階矩陣，Q是n階初等矩陣，那么det(AQ)=detA*detQ
引理3：n階矩陣A是非奇異的當且僅當A的秩為n
定理1：如果A是n階矩陣，那么下列論斷等價：
①A是非奇異的
②A的秩為n
③A是可逆的
④A的列（行）向量組是線性相關的
⑤齊次線性方程組AX=0只有零解
⑥非齊次線性方程組AX=β有唯一解
定理2：如果A,B是兩個n階矩陣，那么det(AB)=detA*detB
推論1：如果A1,A2…As都是n階矩陣，則det(A1A2…As)=(detA1)(detA2)…(detAs)
推論2：如果A是可逆矩陣，則det(A-1)=det(A)-1
方陣的轉置的行列式：
引理4：如果p是初等矩陣，則det(PT)=detP
性質10：如果A是n階矩陣，則det(AT)=detA
按任意一行（列）展開行列式：
引理5：設n>=2,A=(aij)是n階矩陣，A的行列式等於A的任意一行的各元素與其對應的代數余子式乘積之和：
detA=ai1Ai1+ai2Ai2…+ainAin
引理6：設A=（aij）是n>=2階矩陣，A的行列式等於A的任意一列的各元素與其對應的代數余子式乘積之和：
detA=a1iA1u+a2iA2i…+aniAni
引理7：設A=（aij）是n>=2階矩陣，如果h,i∈{1,2…n},h≠i，那么，A的第h行的各元素與第i行的對應的元素的代數余子式乘積之和等於0，即：
ah1Ai1+ah2Ai2+….ahnAin=0
引理8：設A=（aij）是n>=2階矩陣，如果j,k∈{1,2…n}，j≠k,那么，A的第j列的各元素與第k列的對應元素的代數余子式乘積之和等於0，即：
a1jA1k+a2jA2k+….anjAnk=0
定理3：設n>=2.如果A=（aij）是n階矩陣，那么
ah1Ai1+ah2Ai2+….ahnAin={|A|，如果h=i;0,如果h≠i}
a1jA1k+a2jA2k+….anjAnk={|A|,如果j=k;0,如果j≠k}
伴隨矩陣：
定理4：如果A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，那么AA*=A*A=|A|In
行列式在線性代數方面的應用：
子矩陣：A的一個子矩陣就是去掉A的一些行和列剩下的元素按原來的相對位置排成的矩陣
子方陣：子矩陣的行與列相等的矩陣
子式：A的子方陣的行列式稱為A的一個子式
定理5：矩陣A的秩等於A的非零子式的最大階數
克萊姆法則：
行列式在幾何方面的應用：
共線，共面 == 》 線性相關
正交 == 》 垂直