線性代數學習筆記——第五章(上)

今天8月1日，也是競賽培訓的第一天，但是家里的網線被人給拔了，又霍霍了一天，算上之前，已經霍霍了一周了，我是不是要廢了。趁着來網了，湊合着別人的筆記以及自己的筆記霍霍出了半篇筆記

矩陣的特征值與特征向量

• 特征值和特征向量只有方陣才有。

• 設A為n階的方陣，對於一個數λ，若是存在非零列向量α，使得Aα=λα，那么λ為一個特征值，α為λ對應的特征向量。

  • 特征值λ可為零，但是特征向量α不能為零。

• Aα = λα \(\Rightarrow\) (λE - A)α = 0。(λE - A)X = 0 有非零解 \(\Longleftrightarrow\) |λE-A| = 0。

• 特征矩陣：λE - A。

• 特征方程：|λE - A|=0。

• 特征多項式：|λE - A|=0。

• 特征值（特征根）：λ。

• 若α為λ對應的特征向量，則cα也是，c為常數且不等於0。

  • α對應唯一一個λ，λ可對應多個α。
  • 找到一個特征向量就能找到無數特征向量。

• 若α₁，α₂都為λ對應的特征向量，則C₁α₁+C₂α₂是λ的特征向量。

• 解題大概思路：把某行盡可能化為零，提取含參數的公因子，按行展開(主要目的是為了降次)。

• 完整解題步驟：

  • 列出|λE - A|，檢查10秒。
  • 通過|λE - A| = 0或|A - λE| = 0求出λ。
  • 一般利用按行展開或提公因子的技巧直接得到一個根，然后計算剩下的根。
  • 代入λ，得到矩陣λE - A。
  • 化為行簡化階梯型。
  • 寫出同解方程組。
  • 對自由未知量取極大無關組，得到基礎解系。
  • 引入c寫出通解，所有c不能同時為0。

• N階對角形矩陣的特征值就是主對角線上的元素。如下圖：

  \(A=\left[\begin{matrix}a~11~&a~12~… &a~1n~\\&a~22~… &a~2n~\\…&…\\&&a~nn~\end{matrix}\right]\)

  \(|λE-A|=\left|\begin{matrix}λ - a~11~…………& -a~1n~\\λ - a~22~\\………&……\\&λ - a~nn~\end{matrix}\right|\)=(λ - a₁₁)(λ - a₂₂)……(λ - a_nn)=0

  \(\therefore\) λ ₁=a₁₁, λ ₂=a₂₂,…… λ _n=a_nn,

  
  
  
  

特征值與特征向量的性質

• A和A^T有相同的特征值，特征向量可能不同。

  |λE-A^T|=|λE^T-A^T|=|(λE-A)^T|=|λE-A|。

• 若矩陣A的每行元素絕對值之和<1，或者每列元素絕對值之和也<1，那么特征值的模小於1.

• 韋達定理：矩陣A的n個特征值λ₁λ₂λ₃λ₄……λ_n。

  • 特征值之和（矩陣的跡tra(A)）等於對角線元素之和。\(\sum_{i=1}^nλ~i~\)=\(\sum_{i=1}^na~ii~\)
  • 特征值之積等於行列式的值。λ₁λ₂λ₃λ₄……λ_n=|A|。

• n階方陣A互不相同的特征值λ₁λ₂……λ_n對應的特征向量α₁α₂……α_n線性無關。

• A可逆 <=> |A| ≠ 0 <=> A所有特征根不等於0 <=> A滿秩 <=> 行/列向量線性無關 <=> Ax = 0 只有零解。

• K重特征根對應的線性無關的特征向量的個數\(\leq\) k。

  • 若λ是A的單根，那么λ對應的線性無關的特征向量只有一個。
  • n階矩陣A所有線性無關的特征向量的個數最多n個。

• 若λ時A的特征值：

  • kλ是kA的特征值。
  • λ^k是A^k的特征值。
  • 哈密頓一凱萊定理：f(A)的特征值為f(λ)，此處f代表多項式函數。
  • \(\frac{1}{λ}\)是A^-1的特征值。
  • \(\frac{|A|}{λ}\)是A^*的特征值。
  • 例題：
    • 2是A的特征值，誰是A⁵+6A²+A+3E的特征值？
      • A⁵α = 2⁵α
      • 6A²α = 62⁵α
      • Aα = 2α
      • 3Eα = 3 α
      • (A⁵+6A²+A+3E)α = (2⁵+6*2²+2+3)α