線性代數學習筆記——第五章(下)

還剩短暫的一章，本打算今天將線性代數結束，然而玩了一下午的游戲，又看了三個小時的LPL。哎，太難了！ 這篇筆記的部分思路來自於CSDN的小刀博主。

相似矩陣和矩陣可對角化的條件

• tr(A):跡，主對角線元素之和。

• 相似矩陣：

  • 若A、B為n階方陣，存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP = B，則A與B相似，A~B。
  • 反身性：A~A
  • 對稱性：A~B \(\Longleftrightarrow\) B~A
  • 傳遞性：A~B B~C \(\Longrightarrow\) A~C

• 相似矩陣的性質：

  • 如果A~B，則A、B有：
    • 相同的特征值。
    • |A| = |B|
    • tr(A) = tr(B)
    • 均可逆或者均不可逆
    • 均可逆的情況下：A^-1 ~ B^-1
    • A^m ~B^m
    • r(A) = r(B)

• 定理：A相似於對角型矩陣 \(\Longleftrightarrow\) A有n個線性無關的特征向量。

  • 若P為特征向量的列組合(α1, α2, α3)，則P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, λ3)

  • 若A有n個互異的特征根，則A~ \(\bigwedge\) 。

• 定理：A~ \(\bigwedge\) \(\Longleftrightarrow\) 對每個r_i 重特征根，基礎解系有r_i個解。

  
  
  
  

  實對稱矩陣的對角化

• 所有實對稱矩陣都能對角化。

• 內積：

  • 內積：兩個向量相乘再相加得到的數。
  • α和α的內積(α，α) \(\geq\) 0
  • (α，α) = 0 \(\Longleftrightarrow\) α = 0
  • (α，β) = (β，α)
  • (kα，β) = k(α，β) = (α，kβ)
  • (α+β，γ) = (α，γ)+(β，γ)

• 向量的長度(范數、模):

  • 范數：||α|| = \(\sqrt{(α，α)}\)
  • 單位向量：模為一。
  • 單位化(標准化)：\(\frac{α}{||α||}\)

• 模的性質：

  • ||α|| \(\geq\) 0，||α|| = 0 \(\Longleftrightarrow\) α = 0
  • ||kα|| = |k|*||α||

• 柯西-施瓦茨不等式：|(α，β)| \(\leq\) ||α||*||β||

• 三角不等式：||α + β|| \(\leq\) ||α||+||β||

• 正交垂直：

  • (α，β) = 0，α \(\perp\) β。
  • (0，α) = 0。
  • 正交向量組：組中向量兩兩正交，且線性無關，不含零向量。
  • 標准正交向量組：是正交向量組，且組內都是單位向量。

• 施密特正交化

• 正交矩陣：

  • 定義：A是n階方陣，AA^T = E
  • 若A正交矩陣，則|A| = \(\pm\) 1
  • 若A是正交矩陣，則A^-1 = A^T ,且A^-1和A^T 都正交。
  • 若A和B都是正交矩陣，那么AB也正交。
  • 若α、β是n維列向量，那么(Aα，Aβ) = (α，β)。
  • A正交 \(\Longleftrightarrow\) A的行(列)向量組是標准正交向量組。

• 若A、B是同階方陣，存在正交矩陣P，是的P^-1AP = B，這A和B正交相似。

• 若A實對稱，一定存在正交矩陣P，使P^-1AP = \(\Lambda\) = diag(λ1, λ2, ……λn)

  • n階實對稱矩陣A一定有n個線性無關的特征向量。

• 實對稱A的不同特征值的特征向量正交。

• 實對稱矩陣的解題步驟：

  • 求特征值
  • 求特征向量
  • 特征向量正交化、單位化
  • 特征向量做成列構成P
  • 特征值與特征向量順序對應。