線性代數學習筆記——終章·第六章

完結撒花——折磨了這么久，線性代數終於結束了。接下來開始認真搞數據結構與算法以及git

二次項定義

• 所有項都是二次的為二次項。
• 二次項的矩陣表達式的步驟：
  • 平方項系數做成主對角線元素。
  • 交叉項的系數除以2放置在對稱的相應位置，例如-2x₁x₂ 分別在第一列第二行和第二列第一行放置-1。
• 二次項的矩陣一定對稱。
• 標准型：只有平方項。
• 線性替換：f(x) = x^TAx，令x = CY，則f(x) = Y^T(C^TAC)Y。
  • A的秩為二次型的秩。
• 合同：
  • A、B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得C^TAC = B，則A、B合同。
  • 反身性：A和自身合同。
  • 對稱性：A合同於B，則B合同於A。
  • 傳遞性：A合同於B，B合同於C，則A合同於C。
  • 若A、B合同，則有以下性質：
    • r(A) = r(B)
    • 同時對稱，A^T = A \(\Longleftrightarrow\) B^T = B，且A^T與B^T合同。
    • 若A、B均可逆，則A^-1 與 B^-1合同。

二次型化標准型

• 三種方法：

  • 配方法
  • 初等變換法
  • 正交替換法

• 配方法：

  • 先對x₁相關的進行配方，但是切記x₁配方的要求是在后續不再出現x₁。

  • 之后的x₂、x₃等等參照上一條。

  • 利用y線性替換x，是的對y的方程滿足標准型。

  • 由於線性替換的定義是x=Cy,因此，需要轉換為x關於y的表達式。

  • 對於只有交叉項的解題技巧：

    • 例題：2x₁x₂ - 4x₁x₃ + 10x₂x₃
    • 設x₁=y₁ - y₂ ，x₂ = y₁ + y₂ ，x₃= y₃，帶入原式。
    • 得到：2y₁¹ - 2y₂² + 6y₁y₃ + 14y₂y₃
    • 假設有4個變量及其以上，依舊是：x₁=y₁ - y₂ ，x₂ = y₁ + y₂，但是x₃=y₃ ，x₄ = y₄ ……

• 初等變換法：
  • 對A、E做同樣的初等列變換。
  • 只對A做相應的初等行變換。
  • A化為對角陣時，E化為C。
  • 每做完一套列行變換，上矩陣會變成對稱的。

• 正交替換(一般不用，計算量很搞人心態)：

  • 二次型A必然為實對稱矩陣。
  • 求特征值。
  • 求特征向量，正交化，單位化。
  • 特征向量做成列，構成C，特征值按對應順序做成對角陣。
  
  
  

• 規范形：

  • 在標准型的基礎上繼續變換\(\Lambda\) ，使得對角線變為1,-1,0的形式。
  • 慣性定理：任意一個二次型可以通過非退化的線性替換為規范形。
    • 其中為1和-1的總數為原來矩陣的秩（個數由原矩陣決定）
    • -1無法化為1。
    • 正慣性指數：正項（1）的個數。
    • 負慣性指數：負項（-1）的個數。
    • 符號差 = 正慣性指數 - 負慣性指數。
  • 任意矩陣A與規范形合同。
  • 合同則意味着有相同的秩序、正慣性指數、負慣性指數。