線性代數學習筆記——第四章

這幾天和高中最好的同學聚了一下，也稍微的放縱了一下，導致緩了幾天才恢復元氣，在7月底的一天匆匆附上一篇筆記，里面有部分內容參考了CSDN的一位博主：

線性方程組

• 求秩過程類似於求方程組的解，初等變換類似於消元。
• 消元法解方程對應的3種初等行變換：
  • 交換兩個方程。
  • 用非零數乘某方程。
  • 某方程的k倍加到另一方程。

線性方程組有解判定

• 系數矩陣A為方程組左邊系數構成的矩陣。

• 增廣系數矩陣：\(\overline{A}\)為系數矩陣A右邊加上結果那一列，帶有虛線，表示方法為\(\overline{A}\)。（舉例）\(\overline{A}\)=\(\left[\begin{array}{rrrr|r}1&0&3&4&5\\0&1&1&1&2\\1&6&6&4&8\\4&2&1&-1&3\end{array}\right]\)

• 有解判定：

  • 在本章中，m為方程組個數，n為未知數個數。
  • r( A )=r( \(\overline{A}\) )=n，有唯一解。
  • r( A )=r( \(\overline{A}\) )<n，無窮解。
  • r( A ) \(\neq\) r( \(\overline{A}\) )，無解。

• 判斷秩相等：

  • 寫出r( \(\overline{A}\) )。

  • 只做行變換，化為階梯形。

  • 看r( A )是否等於r( \(\overline{A}\) )，階梯形中虛線左邊非零行行數是否等於虛線右邊非零行行數。然后參照上述的有解判定。

  • 若是無窮多解，則化為行簡化階梯形，不管零行，非零行的首非零元（1）留在左邊，其他變量放在右邊，得到一般解。

  • 舉例：\(\left[\begin{array}{rcll|r}1 & 0 &3 &4 &5\\0&1&1&1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]\) \(\left\{\begin{array}{l}X~1~=5-3X~3~-4X~4~\\X~2~=2-X~3~-X~4~\end{array}\right.\) 同解方程組，在這里，X₃、X₄稱為自由未知量。

  • 對於增廣矩陣，判斷是否有解，看虛線處是否拐彎，不拐彎這有解，拐彎則無解。

  • 對於增廣矩陣只需要給開頭和結尾畫上虛線即可，中間的過程可以不用畫。

齊次方程組的解

• 齊次方程：右邊全是零，一定有解，至少有零解。
• 加0行或者0列不影響秩（非零子式的最高階數不受到影響）。
• 推論：
  • r(A)=r(\(\overline{A}\))=n \(\Longleftrightarrow\) 有唯一零解。
  • r(A)<n \(\Longleftrightarrow\) 有非零解或者無窮解，只要找到一個非零解，就可以找到無窮個非零解。
  • 方程個數<未知量個數，有非零解。r(A)\(\leq\) min{m,n} = m<n。
  • 方程個數=未知量個數：
    • 有非零解。 \(\Longleftrightarrow\) |A|=0 \(\Longleftrightarrow\) r(A)<n \(\Longleftrightarrow\) A不可逆。
    • 只有零解。 \(\Longleftrightarrow\) |A| \(\neq\) 0 \(\Longleftrightarrow\) A可逆。

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方程組解的結構

• \(\eta\)₁和\(\eta\)₂是Ax=0的解，則\(\eta\)₁+\(\eta\)₂也是解。

• \(\eta\)是Ax=0的解，那么k\(\eta\)也是解，k是任意常數，也可以取0。

• 基礎解系：有無窮多個解，找出一部分解，若滿足下列的條件則為基礎解系。

  • η₁, η₂, ..., η_s線性無關。
  • 任何解可由η₁, η₂, ..., η_s表示。

• 基礎解系求法：

  1、列出系數矩陣A。

  2、只做初等行變換化為行簡化階梯型。

  3、得到首非零元的表示。

  4、對自由項取極大無關組並帶入所有X即可得到基礎解系。

  5、解的個數：n - r(A)。

• 若矩陣A_m*n和B_n*s滿足AB=0，則r(A)+r(B)\(\leq\)n

  • AB=0 \(\Rightarrow\) A左乘B的每一列都為0 \(\Rightarrow\) B的每一列都是A的一組解 \(\Rightarrow\) r(B) = B的列秩 \(\leq\) A的自由變量數 = n - r(A)。
  
  

• 非齊次方程組Ax=b的導出組為Ax=0。

  • 若\(\alpha\)₁,\(\alpha\)₂是Ax=b的解，則\(\alpha\)₁ — \(\alpha\)₂是Ax=0的解。

  • 若\(\alpha\)是Ax=b的解，\(\eta\)是Ax=0的解，則A(\(\alpha\)+\(\eta\))=b \(\Rightarrow\) \(\alpha\)+ \(\eta\) 是Ax=b的解。

• 特解：滿足非齊次方程組的任意一個解，不特殊。

• 通解：能用基礎解系表示的解。

• 非齊次方程組的通解=特解+導出組的通解。

• 求非齊次方程Ax=b的解：

  • Ax=別的特解。
  • Ax=0的基礎解系。

• 如何求特解: \(\overline{A}\) 化為行簡化階梯形，然后令所有自由變量為0，為了方便，可以使自由變量為零，得出一個朴實無華的特解。