線性代數學習筆記——第一章

老規矩，不放圖，沒找到合適的圖床平台

二階三階行列式

• 行列式一定是方的。

• 排列：由1,2,...,n組成的一個有序數組叫n級排列，中間不能缺數。

• 逆序：大數排在小數前面。

• 逆序數：逆序的總數。

• 奇排列：逆序數為奇數的排列。

• 偶排列：逆序數為偶數的排列。

• 標准排列：逆序數為0的排列，也稱為自然排列。（由n個數構成的逆序數為0的排列稱為N級標准排列）

• 對換：交換排列中的兩個數。

• 定理：1、一個排列每做一次對換，排列奇偶性改變。

  ​ 2、在所有的N級排列中，奇排列和偶排列的數量相等，各占：\(\frac{n!}{2}\)。

  
  
  

  
  

二階三階行列式

按行展開：

• 行標取標准排列。

• 列標取排列的所有可能，從不同行不同列取出n個元素相乘。

• 一共有N!項。

• 每一項的符號由列標排列的奇偶性決定。

  
  

按列展開：

• 列標取標准排列。

• 行標取n級排列的所有可能。

• 一共有N!項。

• 每一項的符號由行標排列的奇偶性決定。

  
  

既不按行展開，也不按列展開：

• 行標和列標都取n級排列的所有可能。

• 一共有n!項。

• 符號由行標和列標的奇偶性共同決定。

• 如下圖：

  
  

特殊結構行列式：

• 上三角行列式

• 下三角行列式

• 對角型行列式

  • 以上三種的值都為主對角線元素相乘。

• 山寨版上三角行列式

• 山寨版下三角行列式

• 山寨版對角型行列式

  • 以上三種的值都等於次對角線元素相乘，符號由\((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\)決定。

行列式的性質

轉置：

• 將行列式的行做成列，轉置記作：D^T或D'（T表示Transformers）。
• 行列式轉置后值不變。
• 行列式轉置的轉置等於本身。

性質：

• 行列式兩行互換，值變號。

• 行列式兩行（列）對應相等，行列式等於零。

• 行列式D某一行（列）元素都乘以數k，等於k乘以行列式D。

• 行列式兩行（列）對應成比例，行列式等於零。

  • 推論：行列式某行（列）都為零時，行列式為零。
    • 提取公因子0，則0提到外面后乘以行列式肯定等於0。
    • 根據行列式展開的定義來理解，展開項不同行不同列取到的元素肯定會包含0，所以行列式必然等於零。
  • 引申：
    • 行列式兩行（列）對應成比例；
    • 行列式兩行（列）相等；
    • 行列式某行均為零；
    • 可以推出行列式為零，但是反過來，行列式為零，上述三個條件可能都不成立。

• 若行列式某一行元素都可以表示為兩項和，則行列式等於兩個行列式相加。

• 行列式某一行（列）乘以數k加到另一行（列）上去，行列式的值不變。

解題思路：

• 統一化為上三角形式。
• 先處理第1列，再第2列，依次處理第n列。
• 第一列處理結束后，第一行將不再參與后續的運算，同理。

行列式按行展開

行列式展開定理：

• 余子式：去掉行列式指定元素所在行和所在列元素后得到的新行列式M_ij。

• 代數余子式：在余子式前面添加（-1）^i+j 。

• 降階：行列式按某一行（列）展開：

  • 行列式的值 = 任意一行（列）各元素乘以自己的代數余子式的乘積之和。
  • 注意：選零較多的行（列）展開。

• 異乘變零定理：某行元素與另一行元素的代數余子式乘積之和為零。

  
  

• 拉普拉斯定理：

  • k階子式：任取k行k列，處於交叉處構成的行列式。

  • k階子式的余子式：除去k階子式所在行所在列，其余行列形成的子式為k階子式的余子式

  • k階子式的代數余子式：在余子式前面添加(−1)^{(i1+i2+...+ik)+(j1+j2+...+jk)} 。

  • 拉普拉斯展開定理：在n階行列式中，任意取定k行，由k行元素組成的所有k階子式與代數余式乘積之和等於行列的值。

• 行列式相乘定理：同階行列式相乘的值 = 兩個行列式做矩陣乘法后得到的行列式的值。

行列式的計算

• 純數字行列式計算（零較少）：將行列式化為上三角行列式。

• 通過構造新的行列式求余子式或代數余子式。

• 符號運算的n階行列式，“構造行和”，化為特殊形式的行列式進行求值。

• 三叉形行列式：在頂上加一行1，左邊加一列0，行列式的值不變。

• 范德蒙德行列式：太懶了，不放圖，懂了就easy了！

• 反對稱行列式：主對角線為0，上下位置相反數，奇數階的反對稱行列式的值為0。

• 對稱行列式：主對角線無要求，上下位置對應相等。

  
  
  

克萊姆（Cramer）法則：

• 解方程組：只適用於方程個數等於未知量個數。

• 解齊次線性方程組：齊次線性方程組右邊常數項全為0，齊次線性方程組至少有0解。

前幾天連續通宵了兩夜后，身體出了一些問題：痱子、過敏、失眠、腿痛、偏頭痛、頸椎痛、眼睛也痛。
昨日學校又公示了數學競賽的培訓的計划：8月1日開始。為了每天早晨8點起床，這幾天也在盡力調整自己的生物鍾，調整自己的狀態，這也直接導致七月下旬的計划一拖再拖，無法完成了。
迫不得已只能將計划進行更改了，數據結構也得先放一放了，相關的筆記估計得拖到8月中旬進行量產了。
git的使用和github的着手估計也得放到8月中旬時刻再火力全開了。
數學建模也讓我頭疼，從昨天開始着手線性代數，計划五天內結束線性代數，同時通過Typora進行Markdown的練手。
然后完成一本數據結構的書，（同時開始着手准備概率論、數理統計的學習材料）。
同時將一些8月的聚會提前以便8月的時候進行修仙！！！