线性代数学习笔记——第一章

老规矩，不放图，没找到合适的图床平台

二阶三阶行列式

• 行列式一定是方的。

• 排列：由1,2,...,n组成的一个有序数组叫n级排列，中间不能缺数。

• 逆序：大数排在小数前面。

• 逆序数：逆序的总数。

• 奇排列：逆序数为奇数的排列。

• 偶排列：逆序数为偶数的排列。

• 标准排列：逆序数为0的排列，也称为自然排列。（由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列）

• 对换：交换排列中的两个数。

• 定理：1、一个排列每做一次对换，排列奇偶性改变。

  ​ 2、在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：\(\frac{n!}{2}\)。

  
  
  

  
  

二阶三阶行列式

按行展开：

• 行标取标准排列。

• 列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘。

• 一共有N!项。

• 每一项的符号由列标排列的奇偶性决定。

  
  

按列展开：

• 列标取标准排列。

• 行标取n级排列的所有可能。

• 一共有N!项。

• 每一项的符号由行标排列的奇偶性决定。

  
  

既不按行展开，也不按列展开：

• 行标和列标都取n级排列的所有可能。

• 一共有n!项。

• 符号由行标和列标的奇偶性共同决定。

• 如下图：

  
  

特殊结构行列式：

• 上三角行列式

• 下三角行列式

• 对角型行列式

  • 以上三种的值都为主对角线元素相乘。

• 山寨版上三角行列式

• 山寨版下三角行列式

• 山寨版对角型行列式

  • 以上三种的值都等于次对角线元素相乘，符号由\((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\)决定。

行列式的性质

转置：

• 将行列式的行做成列，转置记作：D^T或D'（T表示Transformers）。
• 行列式转置后值不变。
• 行列式转置的转置等于本身。

性质：

• 行列式两行互换，值变号。

• 行列式两行（列）对应相等，行列式等于零。

• 行列式D某一行（列）元素都乘以数k，等于k乘以行列式D。

• 行列式两行（列）对应成比例，行列式等于零。

  • 推论：行列式某行（列）都为零时，行列式为零。
    • 提取公因子0，则0提到外面后乘以行列式肯定等于0。
    • 根据行列式展开的定义来理解，展开项不同行不同列取到的元素肯定会包含0，所以行列式必然等于零。
  • 引申：
    • 行列式两行（列）对应成比例；
    • 行列式两行（列）相等；
    • 行列式某行均为零；
    • 可以推出行列式为零，但是反过来，行列式为零，上述三个条件可能都不成立。

• 若行列式某一行元素都可以表示为两项和，则行列式等于两个行列式相加。

• 行列式某一行（列）乘以数k加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

解题思路：

• 统一化为上三角形式。
• 先处理第1列，再第2列，依次处理第n列。
• 第一列处理结束后，第一行将不再参与后续的运算，同理。

行列式按行展开

行列式展开定理：

• 余子式：去掉行列式指定元素所在行和所在列元素后得到的新行列式M_ij。

• 代数余子式：在余子式前面添加（-1）^i+j 。

• 降阶：行列式按某一行（列）展开：

  • 行列式的值 = 任意一行（列）各元素乘以自己的代数余子式的乘积之和。
  • 注意：选零较多的行（列）展开。

• 异乘变零定理：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零。

  
  

• 拉普拉斯定理：

  • k阶子式：任取k行k列，处于交叉处构成的行列式。

  • k阶子式的余子式：除去k阶子式所在行所在列，其余行列形成的子式为k阶子式的余子式

  • k阶子式的代数余子式：在余子式前面添加(−1)^{(i1+i2+...+ik)+(j1+j2+...+jk)} 。

  • 拉普拉斯展开定理：在n阶行列式中，任意取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余式乘积之和等于行列的值。

• 行列式相乘定理：同阶行列式相乘的值 = 两个行列式做矩阵乘法后得到的行列式的值。

行列式的计算

• 纯数字行列式计算（零较少）：将行列式化为上三角行列式。

• 通过构造新的行列式求余子式或代数余子式。

• 符号运算的n阶行列式，“构造行和”，化为特殊形式的行列式进行求值。

• 三叉形行列式：在顶上加一行1，左边加一列0，行列式的值不变。

• 范德蒙德行列式：太懒了，不放图，懂了就easy了！

• 反对称行列式：主对角线为0，上下位置相反数，奇数阶的反对称行列式的值为0。

• 对称行列式：主对角线无要求，上下位置对应相等。

  
  
  

克莱姆（Cramer）法则：

• 解方程组：只适用于方程个数等于未知量个数。

• 解齐次线性方程组：齐次线性方程组右边常数项全为0，齐次线性方程组至少有0解。

前几天连续通宵了两夜后，身体出了一些问题：痱子、过敏、失眠、腿痛、偏头痛、颈椎痛、眼睛也痛。
昨日学校又公示了数学竞赛的培训的计划：8月1日开始。为了每天早晨8点起床，这几天也在尽力调整自己的生物钟，调整自己的状态，这也直接导致七月下旬的计划一拖再拖，无法完成了。
迫不得已只能将计划进行更改了，数据结构也得先放一放了，相关的笔记估计得拖到8月中旬进行量产了。
git的使用和github的着手估计也得放到8月中旬时刻再火力全开了。
数学建模也让我头疼，从昨天开始着手线性代数，计划五天内结束线性代数，同时通过Typora进行Markdown的练手。
然后完成一本数据结构的书，（同时开始着手准备概率论、数理统计的学习材料）。
同时将一些8月的聚会提前以便8月的时候进行修仙！！！