注：下文若不聲明，統一為三維向量。
向量：
定義：
一般地，向量為一條從原點出發的一條有向線段。
通過終止點的坐標來表示： \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\)
性質：
加法：\(\vec{v}+\vec{w}=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 +x_2\\y_1 + y_2\\z_1 + z_2\end{bmatrix}\)
可以把向量視為從起點到終點的運動，則加法的結果與原來的運動效果是一樣的。
將它們平移使得 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 首尾相接，則加法之后的向量的終點即為平移后路徑的終點。
數乘：
\(k\vec{v}=\begin{bmatrix}kx\\ky\\kz\end{bmatrix}\)
即向量 \(\vec{v}\) 乘 \(k\) 為在向量的每一維乘 \(k\) 。
可以視為將 \(\vec{v}\) 代表的線段伸縮 \(k\) 倍，其中，當 \(k<0\) 時，向量方向相反，長度相同。
線性組合：
\(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 的線性組合為：\(a\vec{v}+b\vec{w}\)
這是在向量的加法和數乘基礎之上的。
可以發現的是，大部分情況下， \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 的線性組合可以到達三維空間中的所有點，但有幾種特殊情況：
\(1.\) 其中一個向量處在另外兩個向量所形成的平面中，這時，只能到達這個平面中的點。
\(2.\) 其中兩個向量處在另外一個向量所形成的線上，這時，只能到達這個線段中的點。
對於第 \(1\) 種情況，即為 一個向量可以被其他向量線性組合表示出來 。
對於第 \(2\) 種情況，同理。
把 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 線性組合所構成的向量集合成為 張成的空間 。
當一組向量中，至少有一個向量能被其他向量表示出來，則稱其為 線性相關 ，否則，稱為 線性無關 。
基向量：
描述每一個維度的單位向量。
例：三維向量中的基向量為：\(\vec{i}\) , \(\vec{j}\) 和 \(\vec{w}\) ，各代表 \(x\) ，\(y\) 和 \(z\) 軸向量對應的長度。
可以發現，在基向量所能張成的空間中，所有向量都可以由基向量的線性組合所表示 。
秩：
最大線性無關組的向量數。
行秩 \(=\) 列秩。
當矩陣線性無關時，稱做 滿秩 。
線性變換：
最通俗的說法：輸入一個向量，輸出一個向量。
由基向量的性質，可以直到，給出原始向量，基向量線性變換后的位置，就可以求出原始向量線性變換后的位置。
可以把向量 \(\vec{i}\) ，\(\vec{j}\) 和 \(\vec{k}\) 按列組合成一個矩陣，稱作 變換矩陣（從右到左，於初始列向量相乘，就得到線性變換后的初始向量，
復合線性變換：
當有多個變換矩陣時，它們具有結合律，即：
\((AB)C=A(BC)\)
如果直接算，很麻煩，可以通過變換矩陣的從右到左的運算順序求解。
那么可以將其合並為一個變換矩陣。
行列式：
符號：\(\det\) 。
線性變換后，向量 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 所形成的平行四邊形的面積放縮比例。
在二維平面中，基向量 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 所組成的正方形面積為 \(s_1\) ，線性變換后，\(\vec{i}\) 和 \(\vec{j}\) 所組成的平行四邊形的面積為 \(s_2\) ，則 \(\det\) 為 \(\dfrac{s2}{s1}\) 。
二維平面的行列式 \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) 。
其中，\(\vec{v}=\begin{vmatrix}a\\c\end{vmatrix}\) ，\(\vec{w}=\begin{vmatrix}b\\d\end{vmatrix}\) 。
證明：
考慮將 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 形成的平行四邊形補成矩形，長為 \(a+b\) ，寬為 \(c+d\) 。
\(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=(a+b)(c+d)-2\dfrac{ac}{2}-2\dfrac{db}{2}-2bc=ad-bc\) 。
對於任何矩陣的行列式，當 \(\det A=0\) 時，代表 \(A\) 是線性相關的。
點積：
\(\vec{v}\cdot \vec{w}=\sum\limits_{i}v_i\cdot w_i\)
由對偶性可以證明。
也可以將其視為從多維向量變成一維向量的線性變換，也即矩陣向量乘法。
目前只看到了點積部分，叉積以及后面的部分等看完了再補上來。