注：下文若不声明，统一为三维向量。
向量：
定义：
一般地，向量为一条从原点出发的一条有向线段。
通过终止点的坐标来表示： \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\)
性质：
加法：\(\vec{v}+\vec{w}=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 +x_2\\y_1 + y_2\\z_1 + z_2\end{bmatrix}\)
可以把向量视为从起点到终点的运动，则加法的结果与原来的运动效果是一样的。
将它们平移使得 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 首尾相接，则加法之后的向量的终点即为平移后路径的终点。
数乘：
\(k\vec{v}=\begin{bmatrix}kx\\ky\\kz\end{bmatrix}\)
即向量 \(\vec{v}\) 乘 \(k\) 为在向量的每一维乘 \(k\) 。
可以视为将 \(\vec{v}\) 代表的线段伸缩 \(k\) 倍，其中，当 \(k<0\) 时，向量方向相反，长度相同。
线性组合：
\(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 的线性组合为：\(a\vec{v}+b\vec{w}\)
这是在向量的加法和数乘基础之上的。
可以发现的是，大部分情况下， \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 的线性组合可以到达三维空间中的所有点，但有几种特殊情况：
\(1.\) 其中一个向量处在另外两个向量所形成的平面中，这时，只能到达这个平面中的点。
\(2.\) 其中两个向量处在另外一个向量所形成的线上，这时，只能到达这个线段中的点。
对于第 \(1\) 种情况，即为 一个向量可以被其他向量线性组合表示出来 。
对于第 \(2\) 种情况，同理。
把 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 线性组合所构成的向量集合成为 张成的空间 。
当一组向量中，至少有一个向量能被其他向量表示出来，则称其为 线性相关 ，否则，称为 线性无关 。
基向量：
描述每一个维度的单位向量。
例：三维向量中的基向量为：\(\vec{i}\) , \(\vec{j}\) 和 \(\vec{w}\) ，各代表 \(x\) ，\(y\) 和 \(z\) 轴向量对应的长度。
可以发现，在基向量所能张成的空间中，所有向量都可以由基向量的线性组合所表示 。
秩：
最大线性无关组的向量数。
行秩 \(=\) 列秩。
当矩阵线性无关时，称做 满秩 。
线性变换：
最通俗的说法：输入一个向量，输出一个向量。
由基向量的性质，可以直到，给出原始向量，基向量线性变换后的位置，就可以求出原始向量线性变换后的位置。
可以把向量 \(\vec{i}\) ，\(\vec{j}\) 和 \(\vec{k}\) 按列组合成一个矩阵，称作 变换矩阵（从右到左，于初始列向量相乘，就得到线性变换后的初始向量，
复合线性变换：
当有多个变换矩阵时，它们具有结合律，即：
\((AB)C=A(BC)\)
如果直接算，很麻烦，可以通过变换矩阵的从右到左的运算顺序求解。
那么可以将其合并为一个变换矩阵。
行列式：
符号：\(\det\) 。
线性变换后，向量 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 所形成的平行四边形的面积放缩比例。
在二维平面中，基向量 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 所组成的正方形面积为 \(s_1\) ，线性变换后，\(\vec{i}\) 和 \(\vec{j}\) 所组成的平行四边形的面积为 \(s_2\) ，则 \(\det\) 为 \(\dfrac{s2}{s1}\) 。
二维平面的行列式 \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) 。
其中，\(\vec{v}=\begin{vmatrix}a\\c\end{vmatrix}\) ，\(\vec{w}=\begin{vmatrix}b\\d\end{vmatrix}\) 。
证明：
考虑将 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\) 形成的平行四边形补成矩形，长为 \(a+b\) ，宽为 \(c+d\) 。
\(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=(a+b)(c+d)-2\dfrac{ac}{2}-2\dfrac{db}{2}-2bc=ad-bc\) 。
对于任何矩阵的行列式，当 \(\det A=0\) 时，代表 \(A\) 是线性相关的。
点积：
\(\vec{v}\cdot \vec{w}=\sum\limits_{i}v_i\cdot w_i\)
由对偶性可以证明。
也可以将其视为从多维向量变成一维向量的线性变换，也即矩阵向量乘法。
目前只看到了点积部分，叉积以及后面的部分等看完了再补上来。