線性方程組
概述
線性方程組就是形如下方的方程組。
初等行變換與高斯消元
線性方程組有3種初等行變換（將某行乘以某個數，將兩行相減，交換兩行）
通過三種初等行變換，我們可以進行高斯消元。
高斯消元其實就是平時解方程組的過程。
大體過程就是通過第i行消去每行(除第i行)的第i個未知數的系數。
齊次方程組
齊次方程組是指等號右側均為0的線性方程組。
當方程組個數小於未知數個數時一定有解。
這個可以直觀的理解為每個方程組相當於對未知數的限制，方程組個數越少對於未知數的限制就越小就更可能有解。
有限維向量空間
n維向量
高中學到的二維向量是由一個二元坐標\((x,y)\)來描述，空間向量由一個三元坐標\((x,y,z)\)來描述。通過這個我們可以更加容易的理解n維向量。
定義一個n維向量\(\alpha =\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ ... \\ x_n\end{bmatrix}\)
向量可以豎着記(就像上方)稱為列向量，也可以橫着記(如\(\alpha = [x_1,x_2,x_3,...,x_n]\))稱為行向量。
向量組
將m個n維向量放到一起構成向量組。
向量組一般需要指明數域
如:\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_m\)
也就是\(\begin{bmatrix}x_{11}\ x_{12}\ x_{13}\ ...\ x_{1m}\\ x_{21}\ x_{22}\ x_{23}\ ...\ x_{2m}\\ ... \\ x_{n1}\ x_{n2}\ x_{n3}\ ...\ x_{nm}\end{bmatrix}\)
線性相關與無關
對於一個向量組\(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ ...\ \alpha_m\)。如果存在不全為零的一組\(k\)使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+...+k_m\alpha_m=0\)，那么就稱這m個向量線性相關。否則稱這m個向量線性無關。
如：\(\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\ 2\\3\end{bmatrix},\alpha_2=\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix},\alpha_3=\begin{bmatrix}\\1\\1\\1\end{bmatrix}\)就是線性相關的。因為\(\alpha_1+\alpha_2-4\alpha_3=0\)
向量組的秩
找出向量組\(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_m\)的"極大線性無關組"。也就是在滿足所選出的向量線性無關的情況下找出最多的向量。
假設上方向量組的一個"極大線性無關組"為\(\beta_1\ \beta_2\ ...\ \beta_k\)。那么原來向量組的秩就是\(k\)。
一個向量組可以由他的"極大線性無關組"表出。也就是說，通過"極大線性無關組"中的向量進行數乘和相加減運算可以表示出原來\(m\)個向量中的任意一個。
可以證明：不管采用何種方法得到極大線性無關組。極大線性無關組的大小是確定的。也就是一個向量組的秩是確定的。
證明：假設原向量組的極大線性無關組是\(\beta_1\ \beta_2\ \beta_3\ ...\ \beta_k\)。我們向其中加入一個在原來向量組中但不在極大線性無關組中的向量\(\beta_{k+1}\)。這時\(\beta_1\ \beta_2\ ...\ \beta_{k+1}\)一定是線性相關的。也就是說存在\(t_1\beta_1\ t_2\beta_2\ ...\ t_{k+1}\beta_{k+1}=0且\exists t_x \neq0\)。
如果\(t_{k+1}\)為0的話。那去掉最后一項\(t_{k+1}\beta_{k+1}\)前面k項之和還是為0並且存在一個t不為0。與前面k個向量線性無關矛盾。
所以\(t_{k+1}\neq0\)。那么同除\(t_{k+1}\)並移項就可以得到\(\beta_{k+1}=-(\frac{t_1}{t_{k+1}}\beta_1 + \frac{t_2}{t_{k+1}}\beta_2+\frac{t_3}{t_{k+1}}\beta_3+...+\frac{t_k}{t_{k+1}}\beta_k)\)。這樣就用極大線性無關組中的向量表出了不在極大線性無關組中的向量\(\beta_{k+1}\)
矩陣
一個\(n\times m\)的矩陣可以表示為 \(A=\left[\begin{array}{cccc}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2}& \cdots & x_{nm}\end{array}\right]\)
我們可以將其看作n個m維的行向量，也可以看作m個n維的列向量。
矩陣的秩
矩陣的秩為將其看作n個行向量的秩(或將其看作m個列向量的秩)。
可以證明：矩陣的\(n\)個行向量的秩（行秩）和\(m\)個列向量的秩（列秩）是相等的。
矩陣可以看作齊次方程組，所以可以進行初等行變換，所以可以進行高斯消元。
矩陣不僅可以進行初等行變換，也可以進行初等列變換。
初等變換不會改變矩陣的秩
如果兩個矩陣可以通過初等變換相互轉化，那么就說這兩個矩陣是相抵的。
矩陣的相抵標准型
通過高斯消元，我們可以將矩陣消成下面這樣的形式。
這種形式稱為矩陣的相抵標准型。
相抵標准型中含1的行向量數量就是矩陣的秩。
矩陣的基本運算
矩陣的加法和數乘
矩陣加法必須滿足相加的兩個矩陣是大小相等的。然后對應位置相加即可。
數乘就是將矩陣的每個位置乘上一個數字。
矩陣乘法
只有當滿足\(A\)是一個\(n\times m\)的矩陣，\(B\)是一個\(m\times k\)的矩陣。\(A\)和\(B\)才可以相乘。得到的矩陣\(C\)是一個\(n\times k\)的矩陣。\(C_{ij}=\sum\limits_{t=1}^mA_{it}\times B_{tj}\)
矩陣乘法滿足結合律，但是不滿足交換律。
矩陣運算和秩的關系
用\(r(A)\)表示矩陣\(A\)的秩。
那么有\(\begin{cases}r(AB)\le min\{r(A),r(B)\} \\ r(A + B) \le r(A) + r(B)\\ r(AB)\ge r(A) + r(B) - n \end{cases}\)
矩陣的轉置
用\(A^T\)表示矩陣\(A\)的轉置。矩陣的轉置可以看作是將行列互換。
比如矩陣\(\left[\begin{array}{cc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12\end{array} \right]\)的轉置就是\(\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 & 7 & 10 \\ 2 & 5 & 8 & 11 \\ 3 & 6 & 9 & 12\end{array}\right]\)
關於轉置有\((ABC)^T=C^TB^TA^T\)
方陣
單位矩陣和初等矩陣
單位矩陣是對角線上全是1其他位置全為0的方陣。
矩陣的每個初等變換都對應一個初等矩陣，初等行變換相當於在矩陣左側乘上一個初等矩陣，初等列變換相當於在矩陣右側乘上一個初等矩陣。
以初等行變換為例：
- 將第i行乘上一個數k，相當於在左側乘上一個第i行第i列為k其他對角線位置全為1，非對角線位置全為0的方陣。
- 將第i行減掉第j行，相當於在左側乘以一個對角線全為1，第i行第j列為-1的方陣。
- 將第i行與第j行互換，相當於乘以一個第i行第j列為1，第j行第i列為1，對角線除第i行第i列和第i行第j列外全為1.其他位置全為0的矩陣。
矩陣求逆
如果方陣\(A,B\)滿足\(AB=I\)，\(I\)表示單位矩陣。那么\(A\)可逆，且\(B\)為\(A\)的逆矩陣，記為\(A^{-1}\)。同樣也可以說明\(B\)可逆\(A\)為\(B\)的逆矩陣。
矩陣可逆的條件，矩陣滿秩\(\Leftrightarrow\)矩陣可逆。
關於矩陣逆的一個性質\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
只有當一個n階方陣\(A\)，滿足\(r(A)=n\)時我們說方陣\(A\)滿秩。
因為\(A\)是滿秩的，所以我們一定可以通過一些初等行變換，將矩陣\(A\)變成相抵標准型（即單位矩陣）。
進行初等行變換相當於左乘一個矩陣。也就有\(P_1P_2P_3...P_kA=I\Rightarrow(P_1P_2P_3...P_kA)^{-1}=I^{-1}=I\Rightarrow A^{-1}P_1^{-1}P_2^{-1}P_3^{-1}...P_k^{-1}=I\)
兩邊同乘\(P_1P_2P_3...P_k\)。就有\(A^{-1}=IP_1P_2P_3...P_k=P_1P_2P_3...P_k\)
實現：將矩陣\(A\)和單位矩陣\(I\)放到一起，形成一個\(n\times 2n\)的矩陣\([A|I]\)。然后對\(A\)進行初等行變換來高斯消元，同時右邊的I進行相同的初等行變換。如果最終\(A\)消成了相抵標准型，那么此時的\(I\)就是\(A^{-1}\)。否則說明\(A\)不可逆。
線性方程組的理論課題
齊次線性方程組的基礎解系
有了矩陣的相關知識我們可以繼續深入了了解線性方程組的相關理論。
對於一個齊次線性方程組\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots + a_{1m}x_m = 0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots +a_{2m}x_m = 0\\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+\cdots + a_{nm}x_m = 0\end{cases}\)
我們可以用矩陣將他表示為\(\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\\vdots \\ x_m\end{array}\right]=0\)
其中左邊稱為系數矩陣。我們對系數系數矩陣進行高斯消元得到相抵標准型。
得到的相抵標准型可以分為3種情況。
-
情況1
形如\(\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)。
也就是恰好消成一個對角線全為1的方陣。這樣的就可以直接解出答案了。 -
情況2
形如\(\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)
這樣最后幾行全為0，是恆成立的，所以也可以直接解出答案，顯然只有0解。 -
情況3
形如\(\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & t_{11} & t_{12}\\ 0 & 1 & 0 & t_{21} & t_{22}\\ 0 & 0 & 1 & t_{31} & t_{32}\end{array}\right]\)
消成這樣,\(x_4,x_5\)取任意的一組值都可以得到一組解。所以有無數組解。
我們想辦法求他的解系。我們先令\(x_4=1,x_5=0\)求出關於\(x_4\)的解系A，然后令\(x_4=0,x_5=1\)求出關於\(x_5\)的解系B。然后對於任意的一組\(x_4=a,x_5=b\)我們可以得到它的解系為\(aA+bB\)
比如，如果我們有\(\begin{cases}x_1+x_4+x_5=0\\ x_2+x_4 = 0 \\ x_3+x_5=0\end{cases}\) 先令\(x_4=1,x_5=0\)解出關於\(x_4\)的解系\(\left[\begin{array}{c} -1\\-1\\0 \\ 1\\0\end{array}\right]\)。然后令\(x_4=0,x_5=1\)解出關於\(x_5\)的解系\(\left[\begin{array}{c}-1\\0\\-1\\ 0 \\1\end{array}\right]\)。之后對於任意的一組\((x_4=a,x_5=b)\)的解系為\(\left[\begin{array}{c}-a-b\\ -a\\-b\\a\\b\end{array}\right]\)
齊次線性方程組的解系構成了線性空間。也就是說齊次線性方程組的某兩個解的線性組合還是該線性方程組的解。
非齊次方程組的解系
齊次方程組的解構成了線性空間。顯然非齊次方程組的解無法構成線性空間。
如：如果齊次方程式\(\begin{cases}x+y=0\\3x+2y=0\end{cases}\)有一組解\(\left[\begin{array}{c}x_1\\ y_1\end{array}\right]\)，也就是滿足\(\begin{cases}x_1+y_1=0\\3x_1+2y_1=0\end{cases}\)。還有一組解\(\left[\begin{array}{c}x_2\\ y_2\end{array}\right]\)也就是滿足\(\begin{cases}x_2+y_2=0\\3x_2+2y_2=0\end{cases}\)。那么我們將兩組解進行線性組合得到一組解\(\left[\begin{array}{c}x_3=x_1+x_2\\ y_3=y_1+y_2\end{array}\right]\)。帶入方程式發現是正確的。
但是對於非齊次方程式，此結論顯然無法成立。
那么如何求出費齊次方程組的解系呢。
- 第一步：高斯消元
- 第二步：求一組特解
- 第三步：將等號右邊改寫成0，強行變成齊次不等式，求出他的解空間V。
- 第四步：原方程組的解系就是\(\alpha+V\)
舉個例子對於一個非齊次方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3 = 1\\2x_2+x_3=4\end{cases}\)。
- 進行高斯消元,求得\(\begin{cases}2x_1+x_3=-2\\ 2x_2+x_3=4\end{cases}\)
- 求一組特解，令\(x_3=0\)，解得\(\left[\begin{array}{c}-1\\2\\0 \end{array}\right]\)
- 求導出組的解空間。他的導出組就是\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3 = 0\\2x_2+x_3=0\end{cases}\)。解出來它的解系為\(k\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\1 \end{array}\right]\)
- 得到原方程組的解空間，\(\left[\begin{array}{c}-1\\2\\0 \end{array}\right] +k\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1-\frac{k}{2}\\2-\frac{k}{2}\\k \end{array}\right]\)
行列式
定義
行列式是一個可以把\(n\)階方陣映射成一個數的函數。
具體的對於一個\(n\)階方陣\(A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{array}\right]\)，它的行列式\(detA=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{array}\right|=\sum\limits_{\Pi}(-1)^{\tau(\Pi)}a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n}\)
解釋：式中\(\Pi\)表示一個\(1\sim n\)的排列。\(\tau(\Pi)\)表示排列\(\Pi\)的逆序對個數。
例如：一個三行三階行列式\(\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8\end{array}\right|=1\times 4 \times 8-1\times 5 \times 7-0\times 3 \times 8 + 0\times 5 \times 6+2\times 3\times 7 - 2 \times 4 \times 6 = -9\)
性質
下面三條性質唯一的決定了行列式函數。
反對稱
- 性質1：相鄰兩行相等或成倍數關系，如果有相鄰兩行\(i,i+1\)相等或呈倍數關系，那么\(det=0\)
證明：如果第\(i\)行和第\(i+1\)行相等，第i行選擇了\(a_{ij}\)，從第\(i+1\)行選擇了\(a_{i+1k}\)。那么就會有對應的一些項，除\(i\)和\(i+1\)外其他位置選擇不變，在第\(i\)行選擇了\(a_{ik}\)在第\(i+1\)行選擇了\(a_{i+1j}\)，此時該項的絕對值沒有變，但因為逆序對數改變了1，所以符號發生了改變。兩項之和恰好為0.這樣兩兩配對使得最后答案為0。
如果第\(i\)行和第\(i+1\)行呈倍數關系，那么結合第一條性質，將某一行乘以某個倍數使其與另外一行相等，\(det\)就會變為0.所以原來的\(det=0\)
- 性質2：交換兩行，\(det\)變為\(-det\)，其中\(x,y\)表示交換的兩行的標號。
證明：假設交換的為相同的兩行，那么每項的絕對值都不會改變，因為逆序對數和原來恰好相差1，所以每項的系數會取反。所以最終\(det\)變為\(-det\)。那么交換不相鄰的兩行，我們可以由不斷交換相鄰兩行推導過去。
- 性質1的推論（反對稱）：結合性質1和性質2我們可以得出更強的結論：如果存在兩行(不一定要相鄰)相等或呈倍數關系，那么\(det=0\)。
雙線性
\(\begin{vmatrix} a_1\ a_2 \ \cdots \ a_m \\ B \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1\ b_2 \ \cdots \ b_m \\ B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 + b_1\ \ a_2+b2 \ \ \cdots \ \ a_m \\ B \end{vmatrix}\)
這稱為行線性，同理也有列線性。
單位矩陣
單位矩陣的行列式為1。
證明：顯然
初等行變換中行列式的變化
- 將某行乘k，因為行列式的每一項中都含有這一行中的元素。所以最終的\(det\)也會變為\(kdet\)
- 交換兩行，\(det\)變為\(-det\)，其中\(x,y\)表示交換的兩行的標號。
證明：假設交換的為相同的兩行，那么每項的絕對值都不會改變，因為逆序對數和原來恰好相差1，所以每項的系數會取反。所以最終\(det\)變為\(-det\)。那么交換不相鄰的兩行，我們可以由不斷交換相鄰兩行推導過去。
- 用矩陣中的某一行減去另一行的k倍，行列式不變。
證明：\(det\left[\begin{array}{c}\alpha_1-k\alpha_x\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right]=det\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right]-kdet\left[\begin{array}{c}\alpha_x\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right]\)
根據反對稱性質，我們知道第二個最后一個矩陣中因為有兩個\(\alpha_x\)所以行列式為0。所以就有\(det\left[\begin{array}{c}\alpha_1-k\alpha_x\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right]=det\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right]\)
不滿秩矩陣的行列式
不滿之矩陣的行列式為0
證明：矩陣不滿秩，說明存在一個向量可以被其他向量表出。設一個不滿秩矩陣\(\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_n\end{array}\right]\)的極大線性無關組為\(\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_r\end{array}\right]\)。那么一定存在一個\(\alpha_k=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots + k_r\alpha_r\)。那么根據行線性將行列式展開。\(\left|\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_r\\ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r\end{array}\right|=k_1\left|\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_r\\ \alpha_1\end{array}\right|+k_2\left|\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_r\\ \alpha_2\end{array}\right|+\cdots+k_r\left|\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots \\ \alpha_r\\ \alpha_r\end{array}\right|\)
根據反對稱，因為每一項都有相等的向量，所以每項值都為0，整個行列式的值就是0。
轉置的行列式
矩陣進行轉置行列式不改變。
計算
根據上面的性質，我們可以通過初等行變換，將矩陣轉化為相抵標准型（單位矩陣），計算此時的行列式，並且記錄下進行的初等行變換操作，這樣就可以根據進行的操作倒推回去，得到原來矩陣的行列式。
行和列的展開式
行列式對於第\(i\)行的展開式=\(\sum\limits_{j=1}^m(-1)^{i + j}a_{ij}A_{ij}\)
其中\(A_{ij}\)表示行列式對於\(a_{ij}\)的余子式，也就是刪掉第i行和第j列，剩下的矩陣的行列式。
對於列的展開式同理。
應用
矩陣和行列式
矩陣乘積的行列式=矩陣行列式的乘積。
即：\(det(AB)=det(A)\times dep(B)\)
克萊姆法則
對於一個線性方程組\(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1m}x_m=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2m}x_m=b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nm}x_m=b_n\end{cases}\)
寫出他的系數矩陣\(A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m} \\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{array}\right]\)
如果\(detA=0\)那么原方程組無解或者有無數組解。
否則，方程組的解為\(x_i=\frac{detB_i}{detA}\)。\(B_i\)表示把\(A\)的第\(i\)列變為\(\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{array}\right]\)所得的矩陣。
矩陣樹定理推導Cayley定理
矩陣樹定理：對於一個圖，令矩陣\(G\)表示其鄰接矩陣，即\(G_{ij}\)表示該圖中\(i,j\)之間邊的數量。令矩陣\(D\)表示其度數矩陣，即\(D_{ii}\)表示\(i\)這個點的度數。求出其基爾霍夫矩陣\(C=D-G\)。刪\(C\)中的任意一行和一列得到\(A\)。\(abs(detA)\)就是該圖的生成樹個數。
Cayley定理：\(n\)個點完全圖的生成樹個數為\(n^{n-2}\)。該定理也可以用\(prufer\)序列推出。
考慮用矩陣樹定理來求完全圖的生成樹個數，顯然得到的基爾霍夫矩陣應該形如\(\left[\begin{array}{cccc}n-1 & -1 & \cdots & -1\\ -1 & n- 1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & \cdots & n-1 \end{array}\right]\)，刪掉一行一列后的行列式就是\(\left|\begin{array}{cccc}n-1 & -1 & \cdots & -1\\ -1 & n- 1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & \cdots & n-1 \end{array}\right|\)
考慮如何計算這個行列式，因為兩行相加行列式不變，所以我們讓第一行加上剩下的\(n-2\)行，就變成了\(\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1\\ -1 & n- 1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & \cdots & n-1 \end{array}\right|\)
然后讓下面的每一行都加上第一行就變成了\(\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & n & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & n \end{array}\right|\)。根據定義就可以看出這個行列式的值為\(n^{n-2}\)
線性空間
定義
線性空間V中任取向量\(\alpha_1,\alpha_2\)都滿足\(\alpha_1+ \alpha_2\in V\),取任意數字\(k\)都滿足\(k\alpha_1 \in V\)
空間的基和維數
線性空間\(V\)的基就是\(V\)的一個極大線性無關組。
一個n維空間一組很顯然的基就是\(\left[\begin{array}{c}1\\0\\\vdots\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\1\\\vdots\\ 0\end{array}\right]\cdots \left[\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\ 1\end{array}\right]\)
在不同的基下，向量具有不同的坐標。
例如在一個二維空間中，如果以\(\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\)為基，那么向量\(\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]\)的坐標就是\((3,4)\),因為\(3\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]+4\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]\)。如果以\(\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right]\)做基，那向量\(\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]\)的坐標就是\((1,1)\)。因為\(\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]\)
基變換和坐標變換
一個線性空間的基\([\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3 \ ...\ \alpha_n]\)可以通過右成一個\(n\)階方陣變為另一組基\([\beta_1\ \beta_2\ \beta_3 \ ...\ \beta_n]\)。這個\(n\)階矩陣稱為基的過度矩陣。
設\(X\)是一個在以\([\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3 \ ...\ \alpha_n]\)為基的情況下的向量，\(Y\)是一個在以\([\beta_1\ \beta_2\ \beta_3 \ ...\ \beta_n]\)為基的情況下的向量，且\(T\)為\(\alpha\)到\(\beta\)的過渡矩陣，即\(\alpha T=\beta\)，那么就有\(X=TY\)
線性變換
線性變換可以理解為給出一個矩陣A，定義\(f(x)=Ax\)(x為向量)。
稱之為線性變換是因為滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)\)
線性變換在不同基下的矩陣
線性變換在不同基下的矩陣是相似關系：
設基\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)T\)。在\(\alpha\)下有一個向量\(X\)，在\(\beta\)下有一個向量\(Y\)。我們知道\(X=TY\)。設在\(\alpha\)下\(f\)的變換矩陣為\(A\)，在\(\beta\)下\(f\)的變換矩陣為\(B\)。\(f(X)=f(TY)=ATY\Rightarrow f(Y)=T^{-1}ATY\)，\(f(Y)=BY\)。所以\(B=T^{-1}AT\)。說明\(A\)和\(B\)是相似的。