線性方程組：
包含變量x1,x2，……，xn的線性方程是形如
a1x2 +a2x2+...+a3x3 = b
的方程，其中b與系數a1 ，a2 ，…… ，an是實數或者復數，通常是已知數，下標n可以是任意正整數。
線性方程組的解有下列三種情況：
①無解
②有唯一解
③有無窮多解
若一個線性方程組有一個解或無窮多個解，則稱它是相容的，若它無解，則稱它是不相容的。
初等行變換：
①（倍加變換）把某一行換成它本身與另一行的倍數的和
②（對換變換）把兩行對換
③（倍乘對換）把某一行的所有元素乘以同一個非零數
行變換可以施與任何矩陣，不僅僅是對於線性方程組的增廣矩陣，若其中一個矩陣可以經過一系列初等行變換變換成另外一個矩陣，則我們稱這兩個矩陣是等價的。
若兩個線性方程組的增廣矩陣是行等價的，則它們具有相同的解集。
行簡化與階梯形矩陣
定義：一個矩陣稱為階梯形（或行階梯形），則它有已下三個性質：
①每一非零行都在每一零行之上
②某一行的先導元素所在的列位於前一行先導元素的右邊
③某一先導元素所在列下方元素都是零
一個矩陣稱為簡化階梯形，則它滿足以下性質：
①每一非零行的先導元素是1
②每一先導元素1是該元素所在列的唯一非零元素
通常將矩陣變換成簡化階梯形矩陣的過程稱為高斯消元法。（計算機程序通常選擇一列中絕對值最大的元素作為主元，可以減少舍入誤差）
但某些條件下高斯消元法不適用，使用的是部分主元法（列主元高斯消元法）
原因：
圖片來自：https://www.zhihu.com/question/33862337
部分主元法思想：在進行第k(k=1,2,3...n-1)步消元時，從第k列的akk及其以下的各元素中選取絕對值最大的元素，然后通過行變換將它交換到主元素akk的位置上，再進行消元。