考研線性代數

行列式

行列式就是一個數或者一個式子

定義

• 逆序： 若\(i<j - (i,j)\)稱為正序，若\(i>j - (i,j)\)稱為逆序
• 逆序數：一個排列里面包括的逆序的總個數
• n階行列式：n階行列式等於所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和，逆序數為偶數時帶正號，逆序數為奇數時帶負號，共有n!項
• 余子式：行列式划去該元素所在的行與列的各元素,剩下的元素按原樣排列,得到的新行列式
• 代數余子式：行列式某元素的余子式與該元素對應的正負符號的乘積
• \(A_{ij}=(-1)^{(i+j)}M_{ij}\) 其中 \(A_{ij}\)為代數余子式，\(M_{ij}\)為余子式

易算行列式

• 對角行列式：上三角，下三角，對角都為主對角線乘積
• 范德蒙行列式

\[V_n= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a^2_1 & a^2_2 & \cdots & a^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^{n-1}_1 & a^{n-1}_2 & \cdots & a^{n-1}_n \\ \end{matrix} \right]=\prod_{1\leq j<i\leq n}(a_i-a_j) \]

\(V_n!=0\) 充分必要 \(a_1,a_2,a_3 \cdots a_n\)兩兩不等

計算性質

• 行列式與其轉化行列式相等，即\(D=D^T\)
• 對調兩行或者兩列改變符號
• 行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面
• 若行列式某行（或列）元素全為零，則該行列式值為零
• 若行列式某兩行（或列）元素相同或者成比例，則該行列式值為零

\[\left[ \begin{matrix} a_1+b_1 & c_1 \\ a_2+b_2 & c_2 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \\ \end{matrix} \right] \]

\[\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1}+ka_{i1} & a_{j2}+ka_{i2} & \cdots & a_{jn}+ka_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right] \]

矩陣

矩陣是一個表格

定義

• 矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合， 有m行n列
• n階方陣：當\(m==n\)時，稱為n階方陣
• 同型矩陣：兩個矩陣行數和列數相等
• 相同矩陣：兩個矩陣一摸一樣
• 零矩陣：所有元素都為0
• 伴隨矩陣：先為n階方陣，變成一個只有數值相等的行列式，求出所有的余子式進行排列，得出的新的矩陣就為伴隨矩陣，記作\(A^*\)，\(A*A^*=A^**A=|A|E\)

• 矩陣合同：A，B為n階實對稱方陣，若存在可逆矩陣P，使得\(P^TAP=B\)，稱A，B合同。A，B合同的充分必要條件為A，B的特征值中正，負及零的個數相同
• 正交矩陣：\(AA^T=E\)，則\(A^{-1}=A^T\)
• 矩陣等價：矩陣A通過初等變換變成矩陣B，\(B=QAP\)，則A，B矩陣等價。等價的充要條件為\(r(A)=r(B)\)

運算

• 加減乘，沒有除法，乘法沒有交換律
• 加減法：必須同型，對應元素相加減
• 一個數與矩陣乘，所有元素都乘
• 兩個矩陣相乘：\(A_{m*n}*B_{n*s}=C_{m*s}\)，內標同可乘，外標確定型,左邊取行，右邊取列

注意點

• \(A,B\)為兩個矩陣
• \(A\neq 0\)，\(B\neq 0\)，得不出\(A*B\neq 0\)
• \(A\neq 0\) ，得不出\(A^k\neq 0\)
• \(A*B\neq B*A\)

性質

• \(|A^T|=|A|\)
• \((AB)^T=B^TA^T\)
• \(|AA^T|=|A|^2\)
• \(|A^*|=|A|^{n-1}\)

\[\left[ \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & 0 \\ D & B \end{matrix} \right] =|A|*|B| \]

• \(|kA|=k^n|A|\)
• 拉普拉斯法則 \(A_{nn},B_{nn}\)，\(|AB|=|A|*|B|\)

背景

• \(AX=b\) 表示線性方程組，\(A\)為n階方陣，若存在n階矩陣\(B\)，使得\(BA=E\)，則\(BAX=Bb\)得\(X=Bb\)

逆矩陣

定義

• \(A\)為n階方陣，若存在n階矩陣\(B\)，使得\(BA(AB)=E\)，則稱\(A\)可逆，\(B\)為\(A\)的逆陣，\(B\)=\(A^{-1}\)

求解方法

• 判斷可逆的條件 \(A_{nn}\)，\(A\)可逆充分必要\(|A|\neq 0\)
• 方法一 伴隨矩陣法：\(A*A^*=|A|E\),則\(A* \dfrac{A^*}{|A|} =E\)
• 方法二 初等變換法
• \(E(i(k))\)代表第i行乘以k
• \(E(ij(k))\)代表的是第j行乘以k加到i行，或者第i列乘以k加到j列
• 利用\((A|E)\)進行操作
• 但如果找不出到n階矩陣\(B\)，則要研究矩陣的秩

秩

本質是方程組的約束條件的個數

定義

矩陣\(A_{m*n}\)中任取r行r階而形成的r階行列式，稱為A的r階子式。

1. 如果\(\exists r\)階子式不為零
2. \(\forall r+1\) 階子式都為零

則稱A的秩為r，記r(A)=r

性質

• \(A_{n*n}\)，\(|A|\not=0\)則\(A\)可逆，滿秩\(r(A)=n\)
• \(A_{m*n}\)，則\(r(A)<=min[n,m]\)
• \(r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)\) 。見到\(AA^T,A^TA\)用此性質
• \(A,B\)是同型矩陣，則\(r(A\pm B) \leq r(A) +r(B)\)。見到\(A+B,A-B,r(A)+r(B)\)用此性質
• \(\alpha ^T\beta\) 左轉右不轉為數，\(\alpha \beta ^T\) 左不轉右轉為矩陣
• \(A_{m*n},B_{n*s}\)則\(r(AB)\leq min [r(A),r(B)]\)。見到\(AB\)用此性質
• 若\(A=BP\)，P可逆，則\(r(A)=r(B)\)
• \(A_{m*n},B_{n*s}\)且\(AB=0\)則\(r(A) +r(B)\leq n\)。見到\(AB=0\)用此性質

\[r(A^*)= \begin{cases} n,r(A)=n \\ 1,r(A)=n-1 \\ 0,r(A)<n-1 \end{cases} \]

• \(max(r(A),r(B))\leq r(\dfrac{A}{B})\leq r(A+B)\)
• \(max(r(A),r(B))\leq r(A|B)\leq r(A+B)\)

向量

定義

• 向量 ：n維向量組，一般默認情況下是列向量

\[\alpha = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots\\ a_n \end{bmatrix} \]

• 模是指向量的大小，\(|\alpha |=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^n}\) ，當\(\alpha ==1\) ，\(\alpha\)為單位向量或者規范向量
• \(\alpha^o= \dfrac{1}{|\alpha | }\alpha\) 是指\(\alpha\)的單位化
• 內積 \((\alpha ,\beta)=(\beta ,\alpha)=\alpha^T\beta=\beta^T \alpha=a_1*b_1+a_2*b_2+....a_n*b_n\)
• 正交：如果 \((\alpha ,\beta)==0\)，稱\(\alpha , \beta\)正交，記作\(\alpha \bot \beta\)

相關性

• 對於齊次線性方程組 \(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+....+x_n\alpha_n=0\)
• 若方程組只有零解，則稱向量\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性無關，\(x_1=x_2=..=x_n=0\)
• 若方程組有非零解，則稱向量\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性相關

線性表示

• 對於非齊線性方程組 \(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+....+x_n\alpha_n=b\)
• 若方程組有解，則稱向量b可由向量\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性表示
• 若方程組無解，則稱向量b不可由向量\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性表示

向量組的性質

• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性相關充要條件\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)中至少有一個向量可由其余向量向量線性表示
• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性無關，\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n,b\)線性相關，則b可由 \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)唯一線性表示
• 全組無關 \(\Rightarrow\) 部分組無關
• 部分組相關 \(\Rightarrow\) 全組相關
• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)n個n維向量，則\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性相關的的充分必要條件為\(|\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n|=0\)
• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)為n個m維向量，若\(m<n\),則\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)一定是線性相關
• 添加向量的個數提高相關性，添加維數提高無關性

向量組等價

• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)，\(\beta_1,\beta_2,...\beta_n\)是兩個維度相等的向量組，若\(\beta_1,\beta_2,...\beta_n\)可由向量組\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性表示，\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)可由向量組\(\beta_1,\beta_2,...\beta_n\)線性表示，則兩個向量組等價

極大線性無關組和秩

• 通俗的說就是把線性相關的垃圾扔掉
• 對於\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)，存在r個向量線性無關，任意r+1個向量線性相關，則r個線性無關的向量組稱為極大線性無關組，稱r為向量組的秩
• 極大組不一定唯一
• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性無關充要條件\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)為極大線性無關組充要條件\(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)的秩為n
• \(A_{m*n},B_{n*s}=(\beta_1,\beta_2,...\beta_n),AB=A(\beta_1,\beta_2,...\beta_n)=(A\beta_1,A\beta_2,...A\beta_n)\)

向量組秩的性質

• 矩陣A，則矩陣A的秩= A的行向量組的秩=A的列向量組的秩
• \(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)線性相關， 則\(r(A)<n\)
• \(I_1=\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n\)，\(I_2=\beta_1,\beta_2,...\beta_n\)，如果\(I_1\)可由\(I_2\)線性表示，則\(r(I_1)<r(I_2)\)
• 等價的向量組秩相等
• 研究一組向量組的秩和矩陣的秩聯系起來

等價轉換

• \(AX=0\)

• \(AX=b\)

線性方程組

\[\begin{cases} AX=0 \quad (*) \\ AX=b \quad (**) \end{cases} \]

基本定理

• \((*)\)只有零解，則\(r(A)=n\)
• \((*)\)非零解，則\(r(A)<n\)
• \((**)\)無解，則\(r(A)\neq r(\overline{A})\)
• \((**)\)有解，則\(r(A)= r(\overline{A})\)
• \(X_1,...,X_N\)為\((**)\)的一組解，則\(k_1X_1,...,k_nX_N\)為\((**)\)的解充分必要條件為\(k_1+...+k_n=1\)
• \(X_1,...,X_N\)為\((**)\)的一組解，則\(k_1X_1,...,k_nX_N\)為\((*)\)的解充分必要條件為\(k_1+...+k_n=0\)
• \(A_{m*n},B_{n*s}=(\beta_1,\beta_2,...\beta_n),AB=0\)，則\(\beta_1,\beta_2,...\beta_n\)為\(AX=0\)的解
• \(A_{m*n}\)該向量組所含的解向量的個數\(S=n-r(A)\)

求通解

• 先階梯化，找到自由變量和約束變量
• 非齊的通解=齊次的通解+一個特解

矩陣的特征值和特征向量

定義

• \(A_{n*n}\)（研究對象的是方陣），存在\(\lambda\)（一個數），存在向量\(\alpha(\alpha \not= 0)\)，使得 \(A\alpha=\lambda \alpha\)，\(\lambda\)就叫特征值，\(\alpha\)叫做特征向量
• \(A\alpha=\lambda \alpha\)，\((\lambda -A) \alpha=0\)，則\(AX=0\)存在非零解，則\(|\lambda E-A|=0\)
• 特征方程 \(|\lambda E-A|=0\)
• 矩陣相似：\(A,B\)都為n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得\(P^{-1}AP=B\),稱A,B相似，記作\(A\)~\(B\)

概念認知

• 特征方程 \(|\lambda E-A|=0\)解得 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\)
• \(\lambda_1+\lambda_2+,...,+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+..+a_{nn}=tr(A)=(\alpha ,\beta)\)（\(tr(A)\)為A的跡）
• \(\lambda_1\lambda_2...\lambda_n=|A|\)
• 設\(\lambda_0\)為特征值，\(\lambda_0\)對應的特征向量為\((\lambda_0 E-A)X=0\)的非零解
• 若\(A\)~\(B\)，則\(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\)，A，B的特征值相等，反之不成立
• 若\(A\)~\(B\) ，則\(|A|=|B|，tr(A)=tr(B)\)

一般性質

• 重要性質 對於\(A_{n*n}\)的特征值\(\lambda_1,\lambda_2(\lambda_1 \not=\lambda_2)\)， \((\lambda_1 E-A)X=0\)解的基礎解系為\(\alpha_1,...\alpha_n\)， \((\lambda_2 E-A)X=0\)解的基礎解系為\(\beta_1,...\beta_n\)，
  則\(\alpha_1,...\alpha_n,\beta_1,...\beta_n\)線性無關
• 對於\(A\alpha=\lambda_0 \alpha\)，\(f(A)\alpha=f(\lambda_0)\alpha\)
• 若\(A\)可逆，則\(A^{-1}\alpha=\dfrac{1}{\lambda_0}\alpha\)，\(A^{*}\alpha=\dfrac{|A|}{\lambda_0}\alpha\)，說明\(A^{*},A^{-1},A\)公用一個特征向量
• 對於\(A_{n*n}\)，則A可相似對角化充要條件A有n個線性無關的特診向量
• A為方陣，\(r(A)\geq\)非零特征值的個數
• A可對角化，則\(r(A)=\)非零特征值的個數
• A為n階方陣，則\(n=\)特征值的個數，重數算多個
• \(A=\alpha \beta^T\)，則\(tr(A)=(\alpha, \beta)\)(矩陣寫出來就明白了)

實對稱矩陣性質

以下所有的的性質都是只有實對稱矩陣才擁有的性質

• \(A^T=A\)
• \(\lambda_1 \not=\lambda_2\)，\(A\alpha=\lambda_1 \alpha\)，\(A\beta=\lambda_2 \beta\)，可得\(\alpha \bot \beta\)
• \(A^T=A \Longrightarrow \lambda_i\in R(1\leq i\leq n)\)
• \(A^T=A \Longrightarrow\) A可對角化

施密特正交化

• 正交化

• 規范化（通俗點講就是單位化）

正交矩陣

定義

對於\(A_{n*n}\)，若\(A^TA=E\)，則稱A為正交矩陣

性質

• \(A^T=A^{-1}\)
• \(|A^T|*|A|=1\)，\(|A|^2=1\)，\(|A|=\pm 1\)

充要條件

• \(Q=(\gamma_1,...,\gamma_n)\)，\(Q^TQ=E\)充要條件為\(\gamma_1,...,\gamma_n\)兩兩正交且單位

對角化過程

\(A^T\not=A\)不是實對稱矩陣的情況

1. \((\lambda E-A)X=0\) ，求出特征值 \(\lambda_1,..,\lambda_n\)
2. \((\lambda_i E-A)X=0\) ，求出所有的基礎解系 \(\alpha_1,...\alpha_m(m\leq n)\) ，所有基礎解系線性無關
3. 若\((m\leq n)\)，A不可對角化
4. 若\((m== n)\)，A可對角化 ，\((A\alpha_1,A\alpha_2,...A\alpha_n)=(\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2,...,\lambda_n\alpha_n)\),得
   \(AP=P*\)對角化解

\(A^T=A\)是實對稱矩陣的情況

1. \((\lambda E-A)X=0\) ，求出特征值 \(\lambda_1,..,\lambda_n\)
2. \((\lambda_i E-A)X=0\) ，求出所有的基礎解系 \(\alpha_1,...\alpha_n\) 必定為n，個數不會少，必定可以對角化，所有基礎解系線性無關
3. 方法一：找可逆陣P

4. 方法二：施密特正交化，求出\(Q=(\gamma_1,...,\gamma_n)\) ，得
   \(AQ=Q*\)對角化解

λ的求法

• 公式法：\(|\lambda E-A|=0\)
• 定義法：\(A\alpha =\lambda \alpha(\alpha \not=0)\)
• 關聯法：

\[\begin{cases} A^{-1}，A^{*}，A 特征向量相同 \\ P^{-1}AP=B，AB相似，AB特征值相等 \end{cases} \]

矩陣對角化的判斷

• 若\(A^T=A\)，則A可對角化
• 若\(A^T\not =A\) ，先求出特征值 \(\lambda_1\lambda_2...\lambda_n\),若滿足下列條件之一（1）\(\lambda_1\lambda_2...\lambda_n\)單值（2）每個特征值重數與無關特偵向量個數一致，則A可對角化

判斷兩個矩陣是否相似

1. \(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\),即為 \(\lambda\)必須相等

求A^m

二次型

顧名思義就是二次多項式，例如\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-3x_2^2+x_3^2\)就是一個二次型

定義

• 二次型：含n個變量\(x_1,..,x_n\)，且每次都是二次的齊次多項式，則\(f(x)=X^TAX\)
• 標准二次型：只有平方項，充要條件為A為對角矩陣
• 非標准二次型：有交叉項，譬如\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2\)，充要條件為A為實對稱矩陣但不對角
• 規范二次型：系數為1和-1的標准型，稱為二次型的規范形
• 二次型的標准化

• 矩陣合同：A，B為n階方陣，若存在可逆矩陣P，使得\(P^TAP=B\)，稱A，B合同。A，B合同的充分必要條件為A，B的特征值中正，負及零的個數相同

標准化

原來不標准變成標准

• 配方法

• 正交變換法

正定二次型

定義

• 對於二次型\(f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX\)，若對任意\(X \not =0\)，總有\(X^TAX>0\)，則稱\(X^TAX\)為正定二次型，A稱為正定矩陣。
• 例如：\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2\)，對於任何的\(x_1,x_2,x_3\)有\(f(x_1,x_2,x_3)\geq0\)，若\(f(x_1,x_2,x_3)=0\)當且僅當\(x_1=x_2=x_3=0\),或對任意\(X\not = 0,X^TAX>0\)

判別方法

1. 二次型\(X^TAX\)為正定二次型的充分必要條件為A的特征值全為正數