線性代數總結
1.矩陣乘法
A$\times$B=C $ \ \ \ \ \ \ $
$C[i][j]$表示$\sum{A[i][k]\times B[k][j]}$$ \ \ \ \ $$DP$ 思想
$G\times G$ $ \ \ \ G[i][j]$ 表示從$i$到$j$所有長度為$2$的方案數
$(AB)C=A(BC)$
$A \times x=b \ \ \ $數線性齊次方程組
$(x1,x2,x3......,xn)$ $ \ \ \ \ \ \ n$維向量
系數矩陣+結果矩陣=增廣矩陣 （愉快的高斯消元）
2.矩陣的秩
含義：一個矩陣所有不全為零的有用的行數，可經過線性變化仍不為零。
滿秩矩陣可逆，所有行不為零，存在$A^{-1}$。
$A \times A^{-1}=E$(單位矩陣)
矩陣乘一個滿秩矩陣不升維：更高的維度為$0$，乘$0$更高維還是$0$，維度不變。
矩陣乘一個不滿秩矩陣可能降維，原有維度變為$0$。
滿秩矩陣一般指方陣，如果不是方陣，稱為行滿秩或者列滿秩。
#### 3.矩陣行列式
表示在線性變換(加減乘除等變換)中，不變的量。
三階階行列式：
$ \begin{matrix}
a[1][1]& a[1][2]& a[1][3] \\
a[2][1]& a[2][2]& a[2][3]\\
a[3][1]& a[3][2] &a[3][1]
\end{matrix} $
$↘$對角線元素相乘后相加，$↙$元素相乘后相減。
行列式運算法則：
$\sum(-1)^{D(p1,p2,p3......)}a[1][p1]\times a[2][p2]......\times a[n][pn]$
$D$為排列的逆序對數，就是列下標所有排列的逆序對數。
對角矩陣行列式為對角線相乘，且$|A|=|A^{T}|$（轉置）。
滿秩矩陣$|A|\neq 0$
4.矩陣對角化
$A=P^{-1}QP$
$Q$特征值$\lambda$形成的對角矩陣
5.線性齊次方程組
$Ax=\lambda x$
$ (A- \lambda E )\times x=0 $
即$|\lambda E-A|\times x=0$
$P$特征向量的矩陣
$|\lambda E-A|=0$是方程有解的充分必要條件，必須得求出$\lambda$的值才能求出原方程的解。
然后得出原矩陣進行計算，得出各個$x$之間的關系，找出可變項任意帶入求解。
6.極大線性無關組
含義：其余所有的向量都可以用它來表示
極大線性無關組的數字個數等於矩陣的秩$r$。
7.冪零多項式（特征多項式）
$f(x)$當$x=A$時$f(x)=0$稱為$A$的冪零多項式。
$f(A)=(A-\lambda_{1} E)\times(A-\lambda_{2} E)\times(A-\lambda_{3} E)$
一個遞推式$F_n=C_i\times F_{n-1}$的矩陣特征(冪零)多項式為
$\lambda^n- \sum C_i\times\lambda ^{i-1} $
8.多項式取模
$f(x)=x-3 \ \ \ \ \ \ \ f(3)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ g(x_0)=0 \ \ \ \ \ h(x)=f(x)$%$g(x) $
$h(x_0)=f(x_0)$
9.行列式展開
將行列式按照行，列展開，取出這一行的每個元素求代數余子式相加。
代數余子式是去掉以一個元素為中心的十字，然后得到的行列式。