线性代数学习笔记——第三章

肝了两个多小时，还是肝完了一篇笔记，借鉴了很多其他大佬的整理。（不过基本上还是宋浩老师的原话），今天的任务算是完成一半了，我东某人真是可悲！

向量的定义

• n维向量：n个数组成的有序数组。
• 行向量（\(\alpha\)₁,\(\alpha\)₂,\(\alpha\)₃)。
• 列向量将上述的竖着写。
• 零向量：分量全部为零。
• 负向量：取相反数。
• 向量相等：同维数，元素对应相等。
• 只有同维向量才能比较大小，以及相加。
• k\(\alpha\) = 0 \(\Leftrightarrow\) k = 0 or \(\alpha\) = 0 。
  • 矩阵：AB = 0 \(\nRightarrow\) A=0 or B=0。

向量间的线性关系

• 线性关系：

  • 零向量可由任意向量组表示。
  • 向量组中任一向量可由向量组表示eg：\(\alpha\)₁=\(\alpha\)₁ + 0\(\alpha\)₂ + 0\(\alpha\)₃。
  • 任意向量都可由n维单位向量组表示。

• 向量组的等价：①：同维。②：两个向量组可以相互线性表示。

• 线性组合：β、α₁……α_n。若β可以用α向量组表示出来，那么就叫β是α向量组的线性组合（或者称β可以由α向量组线性表示）。同时在表示的过程中系数可以全取零。

• 反身性、对称性、传递性均适用。

• 线性相关：

  • α₁、α₂……α_n是n个m维向量组，若存在一组不全为0的k₁,k₂……k_n,使得k₁α₁ + ……+ k_nα_n= 0，那么则叫α₁……α_n是线性相关。

• 线性无关：

  ①：不是线性相关。

  ②：找不到一组不全为0的k₁……k_n满足线性相关的条件。

  ③：使得k₁+k₂+……+k_n=0的k₁，k₂……必定全为零。

• 向量组中两向量成比例，向量组必线性相关。

• 含零向量的向量组必线性相关。

• 一个非零向量必无关。

• 一个向量α相关 \(\Leftrightarrow\) α=0 。

• 部分组线性相关\(\longrightarrow\) 整体组线性相关。 整体组线性无关 \(\longrightarrow\) 部分组线性无关。

• 线性无关的向量组，它的接长向量组也线性无关。 线性相关的向量组，它的截短向量组也线性相关。

• n个n维向量（维数 = 个数）构成的行列式D \(\neq\) 0,那么线性无关，否则相关。

• 四大定理：

  • 定理一：α₁……α_s线性相关 \(\Leftrightarrow\) 至少一个向量可由其余向量线性表示。

    • 证明：因为α₁……α_s线性相关，所以找到不全为0的k₁+k₂+……+k_s，使得k₁α₁+……+k_sα_s = 0。假设k₁ \(\neq\) 0，则α₁ = -\(\frac{k2}{k1}\)α₂ -……-\(\frac{ks}{k1}\)α_s 、所以设α₁=mα₂ + ……+m_s-1α_s (m类型的系数可以为零)。-α₁+mα₂ + ……+m_s-1α_s = 0，不管m是什么，总有-1这个非零系数。（我是个哈比蒟蒻，就为了这三排，敲了十多分钟。）

      
      

  • 定理二：α₁……α_s线性无关； α₁……α_s，β线性相关，则β可由α₁……α_s唯一线性表示。

  • 定理三（替换定理）：

    • α₁……α_s线性无关，可由β₁……β_t线性表示，则s \(\leq\) t 。

    • 逆否命题：α₁……α_s可由β₁……β_t表示，若s > t ，则α₁……α_s线性相关。

    • 推论一：若m>n，则m个n维向量一定线性相关。

    • 推论二：两个等价的线性无关组含向量个数相同。eg：s \(\leq\) t , t \(\leq\) s \(\Rightarrow\) s=t。

  
  
  
  

向量组的秩

• 极大线性无关组：α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s 的部分组α₁,α₂,α₃,……α_t满足：①：α₁,α₂,α₃,……α_t无关。②：每个向量均可由α₁,α₂,α₃,……α_t表示，则称α₁,α₂,α₃,……α_t为极大线性无关组。

• 极大线性无关组的性质：

  • 任意两个极大线性无关组，含向量个数相同。

  • 全是零的向量组，没有极大线性无关组，秩为零。

  • 一个线性无关的向量组，它的极大无关组就是它本身。

  • 任何一个向量组和它的极大无关组是等价的。

    
    

• 向量组的秩：

  • 极大无关组含向量个数，记作r(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s )
  • 0 \(\leq\) r(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s ) \(\leq\) min{向量的个数，向量的维数}。
  • 当α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s无关 \(\Leftrightarrow\) r=s。
  • 当α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s相关 \(\Leftrightarrow\) r<s。

• 定理：若α₁……α_s可由β₁……β_t表示，那么 r(α₁,……α_s ) \(\leq\) r(β₁……β_t )。

• 等价向量组有相同的秩，但是具有相同秩的向量组不一定是等价的。

  
  

• 行秩=列秩=矩阵的秩r(A)。

• 定理：r(AB) \(\leq\) min{r(A),r(B)}。

• 极大线性无关组的求法：

  • 核心定理：初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系。

    步骤：

    • 不管原向量是行或列，均按列构成矩阵。
    • 只做初等行变换，化为行简化阶梯形。
    • 首非零元所在列做极大无关组。
    • 其余向量表示系数直接写出，全0的行不用看。