設$G$為群,$S$是$G$的子集,$G$中包含$S$上午最小子群叫做由$S$生成的子群,記作$<S>$,即$$<S>=\bigcap_{i}A_{i},S\subset A_{i}$$由於子群之交仍然是子群,這說明包含$S$的子群中確實有最小的.顯然若$a\in S$,必然有$a,a^{-1}\in<S>$,因此$$<S>=\left\{a_1\cdots a_m:m\in\mathbb N,a_i\in S\cup S^{-1}\right\}$$若$m=0$,規定$a_1\cdots a_m=1$.我們把$S$稱為群$<S>$的生成元系.如果$S$是有限集,那么$<S>$稱為有限生成群.特別的如果$S=\{a\}$,即$S$中僅有一個元素,那么$<S>=<a>$稱為由$a$生成的循環群.這是最簡單的群,下面研究一下循環群的性質:
定理 無限循環群$G$同構於整數加群$\mathbb Z$,$n$階循環群同構於模$n$的剩余類加法群$\mathbb Z_n$.
定理得證明是顯然的,由定理可以看出同階循環群彼此同構,所以我們只需研究$\mathbb Z$和$\mathbb Z_n$即可.
定理 循環群的子群仍然是循環群,即設$G=<a>$是循環群,那么對任意的$m\in\mathbb N^*$,則$G$恰有一個指數為$m$的子群$\left<a^m\right>$.
1)若$G$是無限循環群,那么$\left<a^m\right>$也是無限循環群,同構於$\mathbb Z$;
2)若$|G|=n<\infty$,那么$\left|\left<a^m\right>\right|=\frac{n}{m}$,且$\left<a^m\right>\simeq\mathbb Z_{\frac{n}{m}}$.
Lagrange定理告訴我們子群的階數必然是群階數的因子,但是反過來顯然不成立.但是對於有限循環群,Lagrange定理之逆是成立的.
定理 對於循環群$G=<a>$的生成元,我們有:
1)若$G$是無限群,那么群$G$的生成元只有$a$和$a^{-1}$;
2)如果$|G|=n<\infty$,那么$G$有$\varphi(n)$個生成元,$\varphi(n)$表示Euler函數,表示與$n$小且與$n$互素的那些正整數.並且這$\varphi(n)$個表示為$a^k$且$(k,n)=1$.
由此立即得到初等數論中的著名公式，即$$\sum_{d\big|n}\varphi(d)=n$$
證明 根據定理,那么在$\mathbb Z_n$中,對任意的$d\big|n$,存在唯一的$d$階子群$H=\left<a^{\frac{n}{d}}\right>$,並且其有$\varphi(d)$個生成元,即恰有$\varphi(d)$個$d$階元素,因此$$\sum_{d\big|n}\varphi(d)=\sum_{d\big| n}\varphi\left(\frac{n}{d}\right)=n$$
最后來求循環群$G$的自同構群$\mathrm{Aut}(G)$. 設$G=<a>$,$f:G\to G,a\mapsto a^m$為自同構，
1)若$|G|=\infty$,那么由於生成元僅有兩個,從而$m=\pm 1$,此時${\rm Aut}(G)\simeq\mathbb Z_2$;
2)若$|G|=n<\infty$,那么$G$有$\varphi(n)$個生成元且$(m,n)=1$,此時${\rm Aut}G\simeq\mathbb Z_n^*$.