群同態與同構
群同態
\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)， f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2})\)
定義名稱：
\(f\)為單射 \(\rightarrow\)單同態
\(f\)為滿射 \(\rightarrow\)滿同態
\(f\)為雙射 \(\rightarrow\)同構
性質
單位元具有唯一性且單位元具有對應性:
\(f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)\)
引理
\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)\)
則\(Kerf =\{e\}\rightarrow f\)為單同態
\(Imf = \{f(g)|g \in G\}\rightarrow f\)為滿同態
群同構基本定理
\(f :G\rightarrow H\)
\((G,\cdot)\rightarrow (H,\triangle)\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf\)
\(\left\{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right\} \quad and \quad Imf=\left\{f(g)|g \in G \right\}\)
首先這個定理很直觀，如果商集比較熟悉的話，一眼就可以看出來這個定理其實，對於\(Kerf\)的話，對應值域的\(e\),商掉\(Kerf\)的話，剩下的其實就是\(Imf\)
證明的話需要證明映射的良序性，單射和滿射
證明：
\(\varphi:G \big/Kerf \rightarrow Imf\)
群第一同構定理：\(H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K\)
群同構第二定理
\(G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K)\)