同態加密

同態加密是指這樣一種加密函數，對明文進行環上的加法和乘法運算再加密，與加密后對密文進行相應的運算，結果是等價的。

全同態加密是指同時滿足加同態和乘同態性質，可以進行任意多次加和乘運算的加密函數。用數學公式來表達，即Dec(f(En(m1)，En(m2)，…，En(mk)))=f(m1，m2，…，mk)，或寫成：f(En(m1)，En(m2)，…，En(mk))=En(f(m1，m2，…，mk))，如果f是任意函數，稱為全同態加密。

加法同態，如果存在有效算法⊕，E(x+y)=E(x)⊕E(y)或者 x+y=D(E(x)⊕E(y))成立，並且不泄漏 x 和 y。

乘法同態，如果存在有效算法 ，E(x×y)=E(x) E(y)或者 xy=D(E(x) E(y))成立，並且不泄漏 x 和 y。

 

加密就是將消息或原始信息，用數學方法打亂，然后將其保存或傳遞給另一方，后者將使用另一種數學方法對信息進行解密並讀取它。理想情況下，加密可以增加數據的安全性，因為只有我們授權的人可以讀取消息。信息在解密之前都是很難辨認的，一旦加密后，則只有給定密鑰才可以解密。雖然不同形式的加密已存在幾個世紀，但它仍然是有效果的：加密的數據一定比不加密的數據安全得多，哪怕是在防火牆和殺毒軟件之后也一樣。加密是保護您的數據避免第三方窺探的方法，就像你的網上購物車里，填滿了商品。

 

Gentry發現了一個方法：Boostrapping，該方法我把它稱之為：同態解密。（他為什么可以構造全同態加密方案呢）

這個方法的作用是約減噪音。因為格上加密法案是噪音方案，即在密文中含有噪音，所以每次密文計算后，噪音都會增加，尤其是密文乘法導致噪音增長的非常快。即使你構造了一個具有同態性的加密方案，由於噪音增長，導致無法獲得同態性。因此，約減密文計算后的噪音變得異常關鍵。當然在此之前應該構造一個具有同態性的方案

 

Gentry是在格上首先構造一個具有同態性的加密方案，該方案能夠做加法，也能夠做乘法，但是只能做有限次的乘法。為什么呢？因為噪音的增長。噪音增長太快，使得無法繼續密文計算。這樣的方案稱為：有限同態加密方案（Somewhat HE）。

 

如果想做更多的計算，怎么辦呢？約減噪音，我想連小孩都會的有的常規想法。路線並不新穎，不知道是否讓你失望了。關鍵是怎么約減？

Gentry觀察到一個現象：如果解密的時候，輸入的不是密文，而是對密文加密后的密文，同樣，不是解密密鑰，而是加密后的密鑰，解密會輸出什么東西呢？

答案：一個新的密文，該新密文依然是對原明文的加密。最重要的是新密文的噪音總是恆定的。

說到這里，你反應過來了么。這意味着每次密文計算后，如果使用同態解密操作，將會輸出一個噪音恆定的新密文，這個新密文可以繼續計算，計算后再同態解密，再計算，周而復始，無窮盡也，所謂任意計算實現了。

 

把密文再加密，密鑰再加密后，輸入到解密函數中，輸出新的密文，這個方法就是Boostrapping技術，即：同態解密

 

Gentry構造的加密方案中，解密電路的深度太深，導致無法同態解密。為此，Gentry又發明出一個方法：壓縮電路，將解密電路的復雜度降低，使得可以同態執行解密電路。你說復雜不復雜。

隨后人們遵循Gentry 的思想提出了整數上的，小主理想上的，而且還進行了實現。但是依然很復雜。

然而，2012年有一個人Brakerski將全同態加密推上了頂峰，使之變的簡單了，而且將全同態加密構件建在LWE問題之上。

LWE問題是一個格上的平均性困難問題，可以被歸約到格上標准困難問題。也是抗量子的。目前主流的格上加密方案都是構建在LWE之上。

由於使用Boostrapping實現任意計算代價太高，而且現實中並不太需要任意計算，所以退而求其次，如果能夠執行多項式深度的同態計算，也是能夠滿足大多數需求的。所以隨后的LWE上的全同態加密不使用Boostrapping技術約減噪音，而是使用其它噪音約減技術，使得能夠進行多項式深度的密文計算，代價大大降低了。

總之，目前只有在格上建立的全同態加密方案是安全的。建立的方法就是首先建立一個有限同態加密方案(SWHE)，然后使用噪音約減技術，使之成為一個能夠執行多項式深度同態計算的方案，稱之為層次型全同態加密。

全同態加密的效率也是飛速提高，目前執行一次乘法在毫秒級，密文與明文之比約為10^2。微軟去年初在人工神經網絡上執行密文計算，效果是令人滿意的。

全同態加密目前處在工程化研究階段，相信全同態加密很快就會進入實踐。

 

基於理想格提出一個全同態加密方案

理想格為何物？通俗的說就是一種困難問題，就像大整數難題一樣。

所謂的格（Lattice）就是整系數基的線性組合構成的點，通俗地說就是一個空間中的一些離散有規律的點。既然是離散的點，那么點之間一定有距離，距離產生美，從而產生了一些困難問題，例如：最短向量問題(SVP)。

 

 

 

 

如果是一個二維平面，那么尋找在格上尋找最短向量問題是簡單的，但是當維數變大的時候，例如200多維，尋找格上的最短向量問題就變的異常困難，稱之為格上標准困難問題，是一個指數級的困難問題。你可以想象一下，當你在迷宮里時（現實世界是3維的），找出口還不算很困難，但是當在一個200多維的迷宮里時，困難程度立刻指數級上升。

最令人感興趣的是，格上標准困難問題至今沒有量子算法可以破解或者撼動它，因此格上標准困難問題被認為是抗量子的。

格上的加密方案最大特征：是一個含有噪音的方案。加密時往里添加噪音，主要是為了進一步提高安全性。然而恰好是這個噪音，導致加密的形式與解密形式比較簡單。這種特性為構造全同態加密埋下了伏筆。