DGHV
DGHV全同態方案的實現
這是具有壓縮公鑰的DGHV的全同態加密方案的實現，參考文章：
[1] J.S. Coron, D. Naccache and M. Tibouchi, "Public-key Compression and Modulus Switching for Fully Homomorphic Encryption over the Integers", Proceedings of Eurocrypt 2012.available at http://eprint.iacr.org/2011/440
實現依靠數學庫Sage，具體參考：數學庫Sage安裝和使用
什么是DGHV方案？
最初在下面的文章中給出：
[2] M. van Dijk, C. Gentry, S. Halevi and V. Vaikuntanathan, "FullyHomomorphic Encryption over the Integers". Proceedings of Eurocrypt 2010.and available at http://eprint.iacr.org/2009/616
加密：c= q*p + 2*r + m
這里p是密鑰，m是比特明文（0或1）,q是一個大隨機數，r是一個小隨機數
解密：m=(c mod p) mod 2，容易看出，若噪音2*r < p，則可以解密成功
例如：
給定兩個密文：
c1= q1*p + 2*r1 + m1
c2= q2*p + 2*r2 + m2
加法：c1+c2=(q1+q2)*p+2*(r1+r2)+m1+m2
可以得到：m1+m2=（ c1+c2）mod p mod 2
乘法：c1*c2=q12*p+2*(2*r1*r2+r1*m2+r2*m1)+m1*m2
也可以得到：m1*m2=（ c1*c2）mod p mod 2
這里，密文的噪音比原始密文c1和c2擴大了兩倍，由於噪聲必須低於p，
因此在密文上進行的乘法次數是有限的，所以方案叫做 Somewhat FHE
為了獲得“純”的FHE，即密文的無限次加法和乘法，必須減少密文中的噪音量，叫做密文刷新。
Gentry的密文刷新的關鍵思想，是使用密鑰位的加密對密文位上的解密電路進行同態計算，這叫做Bootstrapping技術，然而我們得到的不是明文位，而是明文位的加密，即相同明文的新密文，現在若解密電路有足夠小的深度，那么新密文中的噪音量實際上小於原始明文中的噪音量，因此叫做密文刷新。
然而，之前的解密算法m=(c mod p) mod 2的深度並不小，因此解密過程必須被“壓縮”，以便可以將其表示為低深度電路，在[2]中解釋了是如何完成的。
到目前為止，我們只描述了一個私鑰加密方案，即加密者必須知道私鑰p，然而很容易獲得公鑰加密方案。為此生成一組公開密文xi，它們都是0的不同的加密，xi=qi*p+2*ri，然后加密1bit的m，c=m+2*r+random_subset_sum(xi)，
c確實是m的加密。
在該庫中，我們實現了DGHV的同態加密，即實現了密鑰生成，加解密，同態加，同態乘和密文刷新
什么是壓縮公鑰？
在DGHV算法中我，密文大小必須是很大的，以防止格基約減算法，密文大小至少為10^7 bits，密鑰p相對較小，大概為2000bit，大約10^4的密文必須包含在公鑰中，所以我們給出公鑰的的大小為10^11 bits，即12.5GB
為了減少公鑰的大小，我們實現了[1]的技術，而不是生成 xi=qi*p+2*ri ，第一生成相同尺寸的偽隨機數X，計算di，使得 xi=Xi-di是小的，模p，那么只有這些小的正確的值被存儲在公鑰中，（帶有PRNG的種子），使用
這種壓縮技術，可以減少公鑰大小變為 10^4*(2*10^3)=2*10^7 bits，即2.5MB，這是可以接受的。
下載
git clone 地址
安裝
1、安裝sage庫
具體參考：數學庫Sage安裝和使用
2、運行sage
./sage load("dghv.sage")
testPkRecrypt()函數里面有密鑰生成，密文加法、密文乘法和密文刷新
問題：
各種報錯，歡迎交流！
這里推薦使用：https://github.com/limengfei1187/DGHVlib