同態基本定理 設$f:G\to H$為群同態,那么同態核${\mathrm {Ker}f}\triangleleft G$,且$G/\mathrm{Ker}f\simeq\mathrm{Im}f$.反過來如果$K\triangleleft G$,那么映射$\pi:G\to G/K,g\mapsto gK$是一個滿同態且其同態核${\mathrm Ker}\pi=K$.我們把$\pi$稱為自然同態.
這個定理的證明是容易的,告訴我們的是正規子群和同態核可以認為是一樣的,也就是說一個正規子群可以看做某個群同態的同態核,反之同態核一定是正規子群.
與高等代數中線性變換在子空間上的限制類似,我們考慮群同態在子群上的限制：設$f:G\to G'$是一個群同態,而$H$是$G$的子群,我們考慮$f$在$H$上的限制$f\big|_H$,我們有如下的結論:
第一同構定理 設$K\triangleleft G,H\leq G$,那么$$H/H\cap K\simeq HK/K$$此處蘊含着$H\cap K\triangleleft H$以及$K\triangleleft HK$.
證明 對於自然同態$\pi:G\to G/K$,我們考慮$\pi$在$H$上的限制$\pi\big|_H$,首要問題是要知道$\pi(H)$的結構,按照自然同態的定義顯然有$$\pi(H):=\{hK:h\in H\}=HK/K$$此處如果直接寫成$H/K$是有問題的,因為$K$未必是$H$的子群,所以商群未必有意義.所以這里用$HK$來進行修正.並且顯然${\mathrm Ker}\pi\big|_H=H\cap K$,從而根據同態基本定理可知$$H/H\cap K\simeq HK/K$$從證明過程可以看出第一同構定理就是自然同態在子群上的限制得到的同態基本定理。
另一個問題如果$K\triangleleft G$我們希望清楚商群$G/K$的子群是什么形式的,設$A$是$G/K$的子群,那么$A$由一些左陪集構成,我們把$A$中左陪集的全體代表元構成的集合記作$H$,即$H:=\{a:aK\in A\}$,不難驗證$H$構成$G$的子群且$K\subset H$.由於$K\triangleleft G$,那么$K\triangleleft H$,從而商群$H/K$有意義了,不難發現$A=H/K$.以上分析說明商群$G/K$的子群必形如$H/K$,其中$H$是$G$的包含$K$的子群.
進一步的,如果$H/K$是$G/K$的正規子群，要求$H$也是$G$的正規子群,反過來是否成立呢?我們有如下的第二同構定理:
設$G$是群,$K\triangleleft G$,自然同態$\pi:G\to G/K$建立了群$G$的包含$K$的子群和商群$G/K$的子群之間的一一對應,並且把包含$K$的正規子群對應成$G/K$的正規子群.詳言之：若$K\subset H\leq G$等價於$\pi(H)/K\leq G/K$;$K\subset H\triangleleft G$等價於$\pi(H)/K\triangleleft G/K$.進一步的有$$G/H\simeq \left(G/K\right)/\left(H/K\right)$$證明 命$\sum_1:=\{H\leq G:K\leq H\leq G\}$即為$G$的包含$K$的子群的全體,$\sum_2:=\{H/K:K\triangleleft H\leq G\}$即為商群$G/K$的子群的全體,考慮映射$f:\sum_1\to\sum_2,H\mapsto H/K$我們來說明這是一個雙射：
首先如果$H_1/K=H_2/K$,那么$\forall h\in H_1$有$hK\in H_2/K\Rightarrow h\in H_2\Rightarrow H_1\subset H_2$,同理$H_2\subset H_1$,從而$H_1=H_2$,這說明$f$是單射;
再來說明$f$是滿射,對$G/K$的任意子群$H/K$,經過前面的分析我們知道必然有$H\leq G$,這便說明了$f$是滿的.綜上可知這是一個一一映射.
再者如果$H\in\sum_1$且$H\triangleleft G$,那么對任意的$aK\in H/K$以及$gK\in G/K$有$$gK\cdot aK\cdot\left(gK\right)^{-1}=gag^{-1}K\in H/K$$從而$H/K\triangleleft G/K$;反之如果$H/K\triangleleft G/K$,那么對任意的$aK\in H/K,gK\in G/K$(也就是$a\in H,g\in G$)有$gK\cdot aK\cdot\left(gK\right)^{-1}=gag^{-1}K\in H/K\Rightarrow gag^{-1}\in H$,從而$H\triangleleft G$.
最后再來說明最后一個同構的式子,僅需考慮同態$\phi:G/K\to G/H,gK\mapsto gH$,首先需要說明的是這個定義是無矛盾的,即若$aK=bK$,那么$b^{-1}a\in K\subset H\Rightarrow aH=bH$.再者顯然這是一個同態,根據同態基本定理有$\left(G/K\right)/{\mathrm Ker}\phi\simeq G/H$,而若$gK\in{\mathrm Ker}\phi$,那么$gH=H\Rightarrow g\in H\Rightarrow{\mathrm Ker}\phi\subset H/K$;另一方面若$h\in H$,那么$\phi(hK)=hH=H\Rightarrow hK\in\mathrm{Ker}\phi\Rightarrow H/K\subset{\mathrm Ker}\phi$,綜上$H/K={\mathrm Ker}\phi$.從而$$G/H\simeq \left(G/K\right)/\left(H/K\right)$$