我們都知道對於十進制數，只要這個數能除盡3/9則他個位數字之和也能除盡3/9,以前只知道用沒有證明過，下面來簡單證明一下。
對於十進制數，舉個簡單的例子，這個數是abcd,他表示的大小就是 x=1000*a+100*b+10*c+d ,
我們對他進行轉化 x=999*a+99*b+9*c+(a+b+c+d)
x=9(99*a+9b+c)+(a+b+c+d)
因為9一定能除盡3和9，所以對於x，只要(a+b+c+d)能除盡3和9，則x也能除盡3和9.
上面只是舉了一個數，下面來針對任意進制P(P>2)證明,
假設一個n位的P進制數x是 anan-1an-2.......a3a2a1
則x=an*Pn-1+an-1*Pn-2+an-2*Pn-3+......+a3*P2+a2*P1+a1*P0.
類似於上面的操作，我們湊出來一個各位數之和，
x=(an*(Pn-1-1)+an-1*(Pn-2-1)+an-2*(Pn-3-1)+......+a3*(P2-1)+a2*(P1-1))+(a1+a2+a3+......an-2+an-1+an)
觀察發現Pn-1=(Pn-1-1)*P+(P1-1) (n>=2) 展開后發現所有的項都含有(P-1),也就是說Pn-1一定能除盡(P-1),所以也能除盡P-1的因子，
所以對於任意的(P-1)得因子q，只要各位數之和(a1+a2+......+an)能除盡q，那么x也能除盡q。
學習了同余方程后發現，也能用同余來解釋，
例如 417≡4*10*10+1*10+7≡4*1*1+1*1+7≡4+1+7 (mod 3)
對於P進制數anan-1......a2a1≡an*P^n-1+an-1*P^n-2......+a2*P+a1 (mod B)
對於上面的式子顯然，當P mod B為1的時候，上式就可化簡為≡an*1*1...+an-1*1*1....+a2*1+a1 mod(B)
所以此時這個P進制數模B后的值就等於各位數字和模B后的值，前提是P%B=1-->(P-1)%B=0,也就是P-1的因子