（原創）同余定理

數學解釋：

數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個整數，那么就稱整數a與b對模m同余，

同余定理：兩個整數同時除以一個整數得到的余數相同，則二整數同余。記作a ≡ b(mod m)。

實際上我們在ACM只要記住兩個公式即可：(只對“+”、“×”成立，對“-”、“/”不成立；）

(a+b)%m = (a%m+b%m)%m;

a*b%m = ((a%m)*(b%m))%m;

 

證明：

設 a = k1*m+r1  ,       b = k2*m + r2;

則（a+b）%m  = （（k1*m+r1）+（k2*m+r2））%m

                         =  （（k1+k2）*m+（r1+r2））%m

　　　　　　　=    （r1+r2）%m

　　　　　　   =    （a%m+b%m）%m；

得到證明；

對於乘法

(a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m；

設 a = k1*m+r1  ,       b = k2*m + r2;

則(a * b) % m = （（k1*m+r1 ）*（k2*m + r2））%m

                       =  （（k1*k2）*m²+（（（k1*r2）+（k2*r1））*m + r1*r2）%m

                       =   （r1*r2）%m

                      =    （（a%m）*（b%m））%m；

結論成立；