一、什么是余數
在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數。我們在讀小學二年級時，已經學了帶余數的出發了，我們來溫習一下。
通過做了這么多年除法，我們可以理解到，余數是指整數除法中被除數未被除盡部分，且余數的取值范圍為0到除數之間（不包括除數）的整數，也就是說余數一定比除數小。一個數除以另一個數，要是比另一個數小的話，商為0，余數就是它自己。
二、余數的性質
- 余數和除數的差的絕對值要小於除數的絕對值（適用於實數域
被除數=除數×商+余數；除數=（被除數-余數）÷商；商=（被除數-余數）÷除數；余數=被除數-除數×商。
- 如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的余數都是2，所以17-11能被3整除。
- a與b的和除以c的余數（a、b兩數除以c在沒有余數的情況下除外），等於a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23+16）除以5的余數等於3+1=4。注意：當余數之和大於除數時，所求余數等於余數之和再除以c的余數。例如，23，19除以5的余數分別是3和4，所以（23+19）除以5的余數等於（3+4）除以5的余數。
- a與b的乘積除以c的余數，等於a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數等於3×1=3。注意：當余數之積大於除數時，所求余數等於余數之積再除以c的余數。例如，23，19除以5的余數分別是3和4，所以（23×19）除以5的余數等於（3×4）除以5的余數。
三、三大余數定理
- 加法定理
a與b的和除以c的余數，等於a、b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。
比如：
23÷5=4.....3
16÷5=3.....1
(23+16)÷5=7.....(4=3+1) - 乘法定理
a與b的積除以c的余數，等於a、b分別除以c的余數之積，或這個積除以c的余數。
比如：
23÷5=4.....3
16÷5=3.....1
(23X16)÷5=73.....(3=3X1) - 同余定理
若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對應模m同余，記為同余式a≡b (mod m)。由同余的性質，我們可以得到一個推論：若a、b同余，則a、b的差一定能被m整除，記為如果a≡b (mod m),那么一定有a-b=mk,k為整數。
四、模的理解
結合余數的定義、性質和同余定理，我們可以這樣去理解：模就像是一個計量系統的計數范圍，實質上是計量系統產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數。如時鍾只能表示0~11點的數值，12則是該時鍾的模，當值大於等於12時，則需要對時鍾的模(12)進行取余運算，得到該計量系統的值。
還是以時鍾計量系統位例，假設當前時針指向11點，而准確時間是8點，調整時間可有以下兩種撥法：
- 一種是倒撥3小時，即：
11-3=8 - 另一種是順撥9小時：
11+9=12+8=8
在以模為12的系統中，加9和減3效果是一樣的，因此凡是減3運算，都可以用加9來代替。對“模”12而言，9和3互為補數（二者相加等於模）。
所以我們可以得出一個結論，即在有模的計量系統中，當某個值A, 需要做一個減法運算(A - B = X)，得到某個想要的結果X時。我們可以化減為加，使得A + C也能得到想要的結果X。那么B和C就是互為補數，他們相加得到的值就是該計量系統的模，減B和加C的行為是同余的，既(A - B) mod 模 = X ，(A + C) mod 模 = X。根據這個結論，我們就不難理解計算機系統采用補碼來表示數值了。首先計算機存儲有位數限制，比如8位、16位、32位等，那么不同位數的二進制的模等於2n,比如有符號位的8位整數，模為28=256，我們來求一下(-13)10的二進制補碼，首先求補數 256-13=243，轉為二進制1111 0011，即為(-13)10的補碼。