同余定理
同余定理是數論中的重要概念。給定一個正整數\(m\)，如果兩個整數\(a\)和\(b\)滿足\((a-b)\)能被\(m\)整除，那么我們就稱整數\(a\)與\(b\)對模\(m\)同余，記作\(a\equiv b(mod \: m)\)。
自我理解：兩個數同時除以\(m\)得到的余數相同。
一、同余
定義：設\(m\)是大於\(1\)的正整數，\(a,b\)是整數，如果\(m|(a-b)\)，則稱\(a\)與\(b\)關於模\(m\)同余，記作\(a\equiv b(mod \: m)\)。
定理1：整數\(a,b\)對模\(m\)同余的充要條件是\(a-b\)能被\(m\)整除（即\(m|a-b\)）。
推論：\(a\equiv b(mod\:m)\)的充分條件是\(a=m\times t+b\)(\(t\)為整數)。
表示對模\(m\)同余關系的式子叫做模\(m\)的同余式，簡稱同余。
定理2：同余關系具有反身性，對稱性與傳遞性，即
- \(a\equiv a(mod\:m)\);
- 若\(a\equiv b(mod\:m)\)，則\(b\equiv a(mod\:m)\)；
- 若\(a\equiv b(mod\:m),b\equiv c(mod\:m)\)，則\(a\equiv c(mod\:m)\)。
定理3：若\(a\equiv b(mod\:m),c\equiv d(mod\:m)\)，則
- \(a+c\equiv b+d(mod\:m)\)；
- \(a-c\equiv b-d(mod\:m)\);
- \(a\times c\equiv b\times d(mod\:m)\).
對於多個的同模同余式也能進行加減乘運算。對於乘法運算還有一下推論：
推論：若\(a\equiv b(mod\:m)\)，\(n\)為自然數，則\(a\times n\equiv b\times n(mod\:m)\)。
定理4：若\(c\times a\equiv c \times b(mod\:m),(c,m)=d\)，且\(a,b\)為整數，則\(a\equiv b(mod\:\frac{m}{d})\)。
推論：若\(c\times a\equiv c\times b(mod\:m),(c,m)=1\)，且\(a,b\)為整數，則\(a\equiv b(mod\:m)\)。
定理5：若\(a\equiv b(mod\:m),a\equiv b(mod\:n)\)，則\(a\equiv b(mod\:[m,n])\)。
推論：若\(a\equiv b(mod\:m_i),i=1,2,\dots,n\)，則\(a\equiv b(mod\:[m_1,m_2,\dots,m_n])\)。
定理6：若\(a\equiv b(mod\:m),n|m\)，則\(a\equiv b(mod\:n)\)。
定理7：若\(a\equiv b(mod\:m)\),那么\(a^n\equiv b^n(mod\:m)\)。
同余證一些特殊數的整除特征：
- 正整數\(a\)是\(9\)的倍數必須且只須\(a\)的各位數碼之和是\(9\)的倍數。
- 設\(a=a_na_{n-1}\dots a_1a_0\)，\(11|a\)的充要條件是\(11|a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^na_n\)。
- 正整數\(a\)能被\(7\)整除的條件是\(a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^na_n\equiv0(mod\:7)\),這里的\(a_1\)為三位數（千進制）。
算法應用：
定義2：如果\(m\)為自然數，集合\(k_i=\{x|x=m\times t+i,i是任意整數\}，r=0,1,\dots,n\)。則稱\(k_0,k_1,\dots,k_{m-1}\)為模\(m\)的剩余類。
剩余類具有如下比較明顯的性質：
- 模\(m\)的剩余類\(k_0,k_1,\dots,k_{m-1}\)都是整數的非空子集；
- 每個整數必屬於一個剩余類；
- 兩個整數屬於同一個剩余類的充要條件是它們對模\(m\)同余。
定義3：從模\(m\)的每個剩余類中任取一個數，所得到的\(m\)的個數叫做模\(m\)的完全剩余系。
定理6：\(k\)個整數\(a_1,a_2,\dots,a_k\)構成模\(m\)的完全剩余系的充要條件是\(k=m\)，且這\(m\)個數對模\(m\)兩兩不同余。
定理7：若\(x_1,x_2,\dots,x_m\)是模\(m\)的完全剩余系，\((a,m)=1,b\)為整數，則\(a\times x_1+b,a\times x_2+b,\dots,a\times x_m+b\)也是模\(m\)的完全剩余系。
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