同余

 

一、同余概念

　　給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個整數，那么就稱整數a與b對模m同余，記作a≡b(mod m)。對模m同余是整數的一個等價關系。

二、同余性質

　　1.自反性

　　　　a≡a（mod m）

　　2.對稱性

　　　　a≡b（mod m），則 b≡a（mod m）

　　3.傳遞性

　　　　a≡b（mod m） ，b≡c（mod m）

　　　　則a≡c（mod m）

　　4.同加性

　　　　a≡b（mod m），則a+c≡b+c（mod m）

　　5.同乘性

　　　　1.a≡b（mod m），則a*c≡b*c（mod m）

　　　　2.a≡b（mod m），c≡d（mod m）

　　　　a*c≡b*d（mod m）

　　6.同冪性

　　　　a≡b（mod m）

　　　　則power（a，n）≡power（b，n）≡（mod m）

　　7.乘法模推論

　　　　a*b mod k =

　　　　（a mod k）*（b mod k） mod k

　　8.結合模推論

　　　　若 a mod p=x，a mod q=x

　　　　p，q互質，則 a mod p*q=x

　　　　證明

• a=p*s+x,a=q*t+x => s*p=t*q;
• 則一定有整數r，使得s=r*q (一個數相等，他們的質因子一定相等，又因為p,q互質，所以s含有q的所有質數積含有q，但又要等式相等，所以還要乘以r=t/p)
• 所以 a=r*p*q+x, 得出a mod p*q=x

　　9.沒有同除性

三、同余應用

　　快速冪

int a,b,c,ans=1;
int quick_pow()
{
    a=read(),b=read(),c=read();
    for(;b;b>>=1,a=a*a%c)
        if(b&1)
            ans=ans*a%c;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}