同余基本概念
剩余系
歐拉函數
歐拉函數φ(n)表示1~n中所有與n互質的數。比如1~8中與8互質的數有1,3,5,7，所以φ(8)=4。
公式1：如果p是素數，有φ(p)=p-1。
公式2（積性）：如果(a,b)=1，有φ(a*b)=φ(a)*φ(b)，
--->以下是公式二的證明過程
設模a的一個簡系為a1,a2,a3,…,aφ(a)，模b的一個簡系為b1,b2,b3,…,bφ(b) 現在我們要證明：所有ai∗b+bj∗a（共φ(a)*φ(b)個）組成了模a*b的一個簡系（即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)）。 判定簡系需要證明下面三點：
-
(ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。
-
ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)
-
對於任意k滿足(k,a*b)=1,則一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)（即沒有遺漏）
證明1： (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。
因為(a,ai)=1,(a,b)=1，所以(a,ai*b)=1，由輾轉相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1，同理得(b,ai*b+bj*a)=1。 所以1得證。
證明2： ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)
證明3： 對於任意k滿足(k,a*b)=1,則一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)
所以φ(n)是積性函數（但不是完全積性，因為要滿足(a,b)=1）。 有了這個公式，就可以推得歐拉函數的通項公式。
又因任意兩個p互質（沒有共同質因子），
所以：
公式4：歐拉函數的通項公式
由
求歐拉函數值
1.如果只求φ(n)，唯一分解 那么我們就直接將n唯一分解處理出每一個n的素數，然后用通項公式就行了。 效率：O(√n)
2、如果要求φ(1~n) 用唯一分解就比較慢了，所以我們可以用篩法求出φ(1~n)，原理和篩素數是一樣的。普通篩法用到的是通項公式，而線性篩法用到公式1、公式2（積性）和公式3。
普通篩法代碼：
線性篩法代碼：
解釋一下上面代碼make_phi函數里的第一個循環（下圖中的x即循環中的i）
這里附幾道求歐拉函數值的習題：
洛谷 P2303 [SDOi2012]Longge的問題
--->題解
洛谷 P2568 GCD
--->題解
模運算
【同余的幾個性質】
性質1：a≡a（mod m），（自反性）
性質2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（對稱性）
性質3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m）=>a≡c（mod m）（傳遞性）
性質4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加減性）
證明：設a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m則(a±c)%m=(A±C)，(b±d)%m=(A±C)即a±c≡b±d（mod m）
性質5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）
證明：設a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m則ac=( A+Ka*m)( C+Kc*m),bd=( A+Kb*m)( C+Kd*m)所以ac%m=AC bd%m=AC即ac≡bd（mod m）
性質6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m）（其中n為自然數）
證明：由性質1和性質5得。
性質7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m）
證明：ac≡bc（mod m）=>c(a-b)≡0（mod m）=>c%m*(a-b)%m=0 =>m|c或m|(a-b)又因為(m,c)=1.所以m|(a-b)即a≡b（mod m）
性質8：若a≡b（mod m），那么a^t≡b^t（mod m）
證明：由性質5得。
性質9：若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2)…. a≡b(mod mk) 則 a≡b(mod [m1,m2……mk])
證明：由題意得mi|(a-b) （1<=i<=k）即(a-b)是mi的公倍數，所以[m1,m2……mk]|(a-b)即a≡b(mod [m1,m2……mk])
歐拉定理
若正整數a、n互素，有：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，則 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。
費馬小定理
若正整數 a 與素數 p 互質，則有 a^(p-1) ≡ 1 mod p。
證明這個定理非常簡單，由於 φ(p) = p -1，代入歐拉定理即可證明。
歐拉定理的推論
擴展歐幾里得算法
歐幾里得定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
定理1：如果a、b是不全為0的整數，那么一定存在整數x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
對於線性同余方程
可以改寫成ax+ny=b的形式
如何求解 （以下討論a>b）：
當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；（特解）
當a>b>0 時 設 ax1+ by1= gcd（a，b）；
bx2+ （a mod b）y2= gcd（b，a mod b）；
根據歐幾里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）；
則：ax1+ by1= bx2+ （a mod b）y2；
即：ax1+ by1= bx2+ （a - [a / b] * b）y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2；
（a mod b = a - [a / b]*b；[a / b]為a整除b） 也就是ax1+ by1 = ay2 + b（x2- [a / b] *y2）；
根據恆等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2；
這樣就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2 :
引理：
ax+by = z，z為gcd（a，b）若干倍，求方程的解；
先求解ax+by = gcd（a，b），再將求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。
求得了方程ax+by=gcd的一組特解為x0,y0；
通解：
-
如果a,b互質通解為x=x0+b*t, y=y0-a*t;
-
如果a,b不互質通解為x=x0+b/gcd*t, y=y0-a/gcd*t;
最小正整數解：X=(x0%(b/gcd)+b/gcd)%(b/gcd);
板子題來嘍——
[NOIP2012]同余方程（信息學奧賽一本通 1872）
【題目描述】
求關於 x 的同余方程 ax≡1(modb) 的最小正整數解。
【輸入】
輸入只有一行，包含兩個正整數 a,b，用一個空格隔開。
【輸出】
輸出只有一行，包含一個正整數 x0 ，即最小正整數解。輸入數據保證一定有解。
【輸入樣例】
3 10
【輸出樣例】
7
模意義下乘法的逆元
求逆元
一、使用歐拉定理求逆元（a，m互質）
二、使用擴展歐幾里得求逆元（a，m互質）
同余方程ax≡1(mod m)的最小正整數解即為a的逆元
線性求逆元：遞推法
求1~M模M的所有逆元，M為質數。用快速冪一個個求復雜度O(MlogM) 對於1000000以上級別的素數，有更優秀的求逆元算法，遞推式如下：
推導過程：設t=M/i , k=M%i
對上式兩邊同時除i*k ，進一步得到
再把t，k替換回來，得到
初始化 inv[1]=1 ，這樣就可以通過遞推法求出1~M模素數 M的所有逆元了。
