同余與逆元

同余

• 前置知識 ————擴展歐幾里得定理

• 什么是同余

  對於兩個數a,b,它們對於p取模結果相同，那么就稱a和b在對p取模意義下同余

• 公式表達

  \(\color{red}{a≡b(mod)p}\)

• 如何求一個數的同余

  利用擴展歐幾里得定理
  我們將該公式轉化一下 -> \(a\%p == b\%p\)
  再變一下 -> \(a\%p - b\%p == 0\)
  再變一下 -> \(a\%p + (-b\%p) ==0\)
  誒，這個時候我們可以發現這個和擴歐的公式好像啊\((ax+by==c)\)
  那么是不是將其看成擴歐就可以解決了呢
  事實是————是的
  但是我們知道可以用擴歐求出一個同余來了，但是好像還是不知道怎么求，也不知道同余可以干什么啊
  事實上，在平常的寫題中沒有系數的同余都是很少出現的，一般同余是這么出現的-----
  \(ax≡b\%p\) 它會告訴你一個系數再讓你去求解
  更特殊的，\(b\)會等於1，這個時候，就扯到逆元上了

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逆元

• 什么是逆元

形如\(ax≡1\ mod\ p\)的\(x\)我們就稱\(x\)是\(a\)在\(mod\ p\)意義下的一個逆元，即\(a\)乘以\(x\)后\(mod\ p\)的答案是1

• 逆元有什么用

  在部分對一個很大的數字取模防止答案爆\(long long\)以至於表達不出來的題目中，有時會發現會用到除法，可是用整數除法會有問題啊，那怎么辦呢又是那怎么辦呢？
  這個時候逆元就派上用場了
  我們發現，\(ax\ mod\ p == 1\) 時，這個x等於 \(\frac{1}{a}\)時就是一個最明顯的滿足條件的逆元，可是\(\frac{1}{a}\)不是一個整數啊，那怎么辦呢？
  實際上，一個數對於另一個數取模時，它的逆元是有無數個的，只不過\(\frac{1}{a}\)是最小的一個，也就是說，還會有\(ay \mod p == 1\)的存在，
  而這個時候，由於要對p取模，那么我們的a乘以x和乘以y的效果都是一樣的，所以\(\frac{1}{a}\)可以被另一個常數y所代替，再想開一點，是不是所有的常數在對p取模時乘以\(\frac{1}{a}\)時都可以被y所代替呢， 由於p是不變的，所以這個結論是正確的

• 如何求逆元

  • 求逆元有三種方式
    前面說過，有一種是可以用\(ex\_gcd\)來求的
    另外兩種分別是費馬小定理（有局限性，但是非常簡單）和線性推逆元(線性的去求逆元，適用於大規模求逆元)
    • \(ax ≡ 1 mod\ b\)
    • \(ax \% b == 1\)
    • \(ax - ax/b*b == 1\)
    • \(設y為ax/b,ax + (b(-y)) == 1\)
    • \(以下y為-y\)
    • \(ax + by == gcd(a,b)\)
    • 這個公式就可以套用擴歐了，下面再推一次擴歐
      \(gcd(a,b) == gcd(b,a\%b) == gcd(b,a-a/b*b)\)
      \(ax + by == gcd(b,a-a/b*b) == bx'+(a-a/b*b)y'\)
      \(ax + by == bx' + ay' - a/b*y'\)
      \(ax + by == ay' + b(x'-a/b*y)\)
      \(x = y',y = x' - a / b*y\)

  由此，我們可以得出求一個數的逆元的公式了
  \(ex\_gcd(a,mod,ni,x)\)//\(a\)為要求的數的逆元，\(mod\)為模數，\(ni\)為逆元，\(x\)什么都不是
  \(ni=(ni+mod)\%mod\);//防止負數

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總結

• 同余是當兩個數都模一個p它們的余數相同，那么我們就稱這兩個數同余
• 逆元是同余的一種常見特殊情況
• 對於求逆元，首先要知道逆元有什么用：
• 逆元是在取模運算中可以用乘法代替除法的巧妙工具

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code:

void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0){x=1,y=0;return;}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
}