【逆元（%%%）】

乘法逆元，一般是用來求

的值，p通常為質數

定義

若a*x≡1(mod b),且a與b互質，我們定義x是a的逆元，記為a^(-1)，所以也可以說x是a在mod b意義下的倒數

所以對於a/b(mod p)，我們可以先求出b在mod p下的逆元，然后乘a再mod p就是這個分數的值了

逆元求法

　　首先看到同余方程，這個就是典型的求一個數模p下的逆元，而對於逆元的求法，我們有多種操作：

擴展歐幾里得

　　首先，這個算法的性質如下

擴展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根據數論中的相關定理）。擴展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。

　　在這道題中，我們可以把ax≡1(mod b)轉化成ax+by=1，只不過y可能是負數，然而與擴歐公式還是有差別，但不難得出，gcd(a,b)=1,

　　推導公式如下

由最大公因數的定義，可知 a 是 gcd(a,b) 的倍數，且 b 是 gcd(a,b) 的倍數， 若 x,y 都是整數，就確定了 ax + by 是 gcd(a,b) 的倍數， 因為 m = ax + by所以 m 必須是 gcd(a,b) 的倍數， 那么 m \mod gcd(a,b) = 0

..................................................

然后根據一系列推導就得出了具體公式：具體請見同余方程第一篇題解<<<<大佬。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x,y;
void exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long z=x;
    x=y;
    y=z-(a/b)*y;
}
int main()
{
    long long a,b;
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b);
    while(x<0)
        x+=b; 
    x%=b;
    cout<<x;
    return 0;
}

快速冪

　　這個做法運用到了費馬小定理

若p為素數，a為正整數，且a、p互質。 則有a^(p-1)≡1(mod p)。

然后代入原式，神奇的事發生了

a*x≡1(mod p) a*x=a^(p-1) (mod p) x=a^(p-2) (mod p)

然后我們求a^(p-2)(mod p)就是它的逆元啦

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p;
int fpm(ll x,ll y)//快速冪
{
    x%=p;
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans=(ans*x)%p;
        y>>=1;
        x=x*x%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>n>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%lld\n",fpm(i,p-2));
    }
}

 線性算法

　　以上算法針對於求單個逆元，但是有一長串的時候，你就TLE了，所以，聰明的大佬們研發的線性算法出現了。

　　設x的逆元為x^(-1)

　　我們先有一個1的逆元為1

       設p=k*i+r,(1<r<i<p) 也就是 k 是 p / i的商，r是余數 。

　　

然后乘上i的逆元和r的逆元

然后公式就出來了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p;
ll inv[3000005];
int main()
{
    cin>>n>>p;
    inv[1]=1;
    printf("%lld\n",inv[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%lld\n",inv[i]);
    }
}

 

學會了求逆元后，我們就可以學學其他interesting的東西——中國剩余定理