乘法逆元，有 一個作用就是，除以一個數再取模時，可以將這個數乘以這個數的逆元再取模，就是將除法運算轉化為乘法運算，舉個例子：
先說一下什么是逆元：若對於數字A,C 存在X，使A * X ≡ 1 (mod C) ,那么稱X為 A 對C的乘法逆元。
比如：( 4 , 7 ) 的逆元是2，4*2≡ 1（mod 7）
12 / 4mod 7=（12 / 4）* (4 * 2) mod 7
這樣看除法就被轉化為乘法了；
關於逆元有三種求法：
1、費馬小定理 （O(nlogn)的復雜度，但若n達到1e7會爆炸，所以需要線性求逆元的方法）
根據費馬小定理，我們可得出當p是素數時，對任意x，都有x^(p)≡ x(modp),
若x無法被p整除，那么x^(p-1)≡ 1(modp),
那么可得出當模數p為素數x^(p-2)就是x的逆元。
代碼如下：
const ll mod=1e9+7; ll pow_mod(ll a,ll b) { ll res=1; while(b>0) { if(b&1)res=res*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return res; } ll inv(ll a) { return pow_mod(a,mod-2); }
2、擴展歐幾里德算法
a*x + b*y = 1
如果ab互質，有解。
那么兩邊同時modp
ax%p≡1%p那么ax≡1(modp)
x就是a關於b的逆元
ll x,y,mod; ll extgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) { ll d=a; if(b!=0) { d=extgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x; } else x=1,y=0; return d; } ll inv(ll a) { ll d=extgcd(a,mod,x,y); return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1; } int main() { while(cin>>x>>mod) { cout<<inv(x)<<endl; } return 0; }
3、逆元線性篩法
用來求1,2,3....n關於p的逆元，復雜度O(n)
#define MAX 2005
const ll mod=1e9+7; int inv[MAX]; int main() { ll x; inv[1]=1; for(int i=2;i<MAX;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; while(cin>>x) { cout<<inv[x]<<endl; } return 0; }
以上的代碼均是本人測試過，如有錯誤，歡迎指正！
參考博客：https://blog.csdn.net/qq_37632935/article/details/77806853
https://blog.csdn.net/nucshiyilang/article/details/62044362