費馬小定理(Fermat Theory)
假如p是質數，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數恆等於1。
當涉及取模運算的計算中，如果有除法，不能直接除以一個數，而應該變成乘以它的乘法逆元。
當我們除以一個數n時，也就是乘上1/n，若x是1/n關於模N的逆元，則x=1/n (mod N)，即 x*n=1(mod N)。由於我們做題時N常常為1000000007，而1000000007是個素數，
所以它滿足了費馬小定理，而滿足費馬小定理說明解唯一，所以我們可以直接得出x*n=n^(N-1)。那么x=n^(N-2),即為1/n關於模N的乘法逆元
求出乘法逆元 （快速冪處理） a^b
1 ll quickmod(ll a,ll b) 2 { 3 ll sum=1; 4 while(b) 5 { 6 if(b&1) 7 sum=(sum*a)%mod; 8 b>>=1; 9 a=(a*a)%mod; 10 } 11 return sum; 12 }
拓展歐幾里得
擴展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根據數論中的相關定理）。擴展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中
擴展歐幾里得。aa^-1≡ 1(mod p)，可以轉換為aa^-1 + py = 1，即是擴展歐幾里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最常用的解法。
1 int x, y; 2 int extgcd(int a, int b, int &x, int &y) 3 { 4 if (b == 0){ 5 x = 1; 6 y = 0; 7 return a; 8 } 9 int gcd = exgcd(b, a % b, x, y); 10 int tmp = x; 11 x = y; 12 y = tmp - (a/b) * y; 13 return gcd; 14 } 15 16 /* 17 求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函數返回值是a,b的最大公約數，而x即a的逆元。 18 注意a, b不能寫反了。 19 */
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但是你會發現費馬小定理和擴展歐幾里得算法求逆元是有局限性的，它們都會要求
與
互素。實際上我們還有一
種通用的求逆元方法，適合所有情況。公式如下
現在我們來證明它，已知
，證明步驟如下
m*b如果爆int 需要使用快速冪