擴展歐幾里得和求逆元

問題描述：

已知a、b互質，求ax+by=1的一組解

擴展歐幾里得算法：

假如b=1,由於gcd(a,b)=1,因此a=x=1

假如b≠1，不妨假設a=kb+r,並且我們已經求出了bx+ry=1的一組解(x0,y0)

bx0+(a-kb)y0=1

ax1+by1=1

bx0+ay0-kby0=b(x0-ky0)+ay0=ax1+by1

x1=y0；y1=x0-ky0

那么(x1,y1)就是ax+by=1的一組解

不斷迭代即可

#include<iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
     if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    int x2=x,y2=y;
    x=y2;
    y=x2-(a/b)*y2;
    return gcd;
}

int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"請輸入a和b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"a和b的最大公約數:"<<endl;
cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一組解是:"<<endl;
cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0;
}

　　

裴蜀定理：

對於任意自然數a,b,若gcd(a,b)=d,那么對於所有整數x,y，一定存在x,y使得ax+by=d成立

設gcd(a1,a2,a3,...,an)=d,那么存在整數x1,x2,...,xn使得a1x1+a2x2+...+anxn=d

（別問我為什么）

對於整數a，我們需要找出整數b，使得a*b %p=1

即解方程ab-kp=1

1.在模為素數p的情況下，有費馬小定理 
a^(p-1)=1（mod p） 
那么a^(p-2)=a^-1(mod p) 
也就是說a的逆元為a^(p-2)

2.而在模不為素數p的情況下，有歐拉定理 
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m) 
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速冪求得了x=a^(phi(m)-1)

3.在有些情況下我們要求出1到p-1所有數關於p的逆元，可以用遞推求逆元

• 設i關於p的逆元為inv[i] 則有inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M
• 設t=M/i,k=M%i，那么 t*i+k≡0（Mod M)-t*i≡k(Mod M)
• 對上式兩邊同時除 i×k，進一步得到 -t*inv[k]≡inv[i](Mod M)
• 再把和替換掉，最終得到 inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M

 #include<iostream>  
    #include<cstdio>  
    #include<cstdlib>  
    #include<cmath>  
    #include<algorithm>  
    #include<cstring>  
    using namespace std;  
    int A[100001];  
    int p;  
    int main()  
    {  
        cin>>p;  
        A[1]=1;  
        for(int i=2;i<=10;i++)  
            {  
                A[i]=(p-(p/i))*A[p%i]%p;  
                printf("%d %d %d\n",i,A[i],(i*A[i])%p);  
            }  
    }