擴展歐幾里得算法 以及求逆元的幾種方法

擴展歐幾里得算法：

$ax+by=gcd(a,b)​$ 求出滿足條件唯一的x,y的值

$設：$

$r_{0}=q_{1}*r_{1}+r_{2}$

$r_{1}=q_{2}*r_{2}+r_{3}$

$r_{2}=q_{3}*r_{3}+r_{4}​$

$..........$

$r_{k-1}=q_{k}*r_{k}​$

其中 $r_{k}​$ 就是最大公約數，因為 $r_{k}​$可由 $r_{k-1}​$和 $r_{k-2}​$,且 $r_{n}=r_{n-2}-q_{n-1}*r_{n-1}​$

故 $r_{k-1}​$可表示為 $r_{k-2}​$和 $r_{k-3}​$的線性組合

同理 $r_{k-2}$也可向上表示。這樣得到最大公約數之后，一直向上回溯即可找到滿足條件的x，y

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ExGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//求 a b 最大公約數，且得到gcd(a,b)=x*a+y*b;
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=ExGcd(b,a%b,x,y);
    ll temp,k;
    k=a/b;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-k*y;
    return gcd;
}

利用擴展歐幾里得求一次同余方程

形如式子 $a*x=c\ \ \ (mod \ \ m)$,求滿足條件的x。

• 且只有滿足 $gcd(a,m)|c$ 的時候才有解。

$ax_{1}+my_{1}=gcd(a,m)\ \ \ \ \ \ \ ①$

令 $c_{1}=c/gcd(a,m)$,

那么等式①兩邊同乘以 $c_{1}​$即可得到 $ax_{1}c_{1}+my_{1}*{c1}=c​$

即 $x=x_{1}*c_{1}=x_{1}*c/gcd(a,m)​$（ $x_{1}​$為 $(a,m)​$的擴展歐幾里得公式中a的系數）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ExGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//求 a b 最大公約數，且得到gcd(a,b)=x*a+y*b;
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=ExGcd(b,a%b,x,y);
    ll temp,k=a/b;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-k*y;
    return gcd;
}
bool IsOk;
ll calc(ll a,ll c,ll m)
{
    ll x,y;
    ll gcd=ExGcd(a,m,x,y);
    if(c%gcd!=0)
    {
        IsOk=false;
        return 0ll;
    }
    return c/gcd*x%m;
}

利用費馬小定理求逆元

補充一個 歐拉定理：

設φ(x)的x的歐拉函數值，如果有a和p互素，則有

$a^{φ(p)}=1(mod \ p)​$

• 費馬小定理條件：a,p互素，且p是素數

則: $a^{p-1}=1\ (mod \ q)​$

即: $a​$ 關於 $p​$ 的逆元為 $a^{p-2}​$

/* 快速冪取模即可 */

利用擴展歐幾里得求逆元

前提

gcd(a,q)==1

逆元即ax+qy=1 (mod q)中的x

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e4+10;
ll ExGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//求 a b 最大公約數，且得到gcd(a,b)=x*a+y*b;
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=ExGcd(b,a%b,x,y);
    ll temp,k;
    k=a/b;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-k*y;
    return gcd;
}
ll getinv(ll a,ll m)
{
    ll x,y;
    if(ExGcd(a,m,x,y)!=1)
        return -1;//不互質 不存在逆元
    return x;
}