擴展歐幾里得算法

拓展歐幾里得算法

先來看看一個重要的基本定理

裴蜀定理

對於整數a,b，他們關於x,y的線性不定方程\(ax+by=d\)，設\(gcd(a,b)=g\)，則可證明\(g|d\)，換句話說，就是g是a,b的最小線性組合。

證明：

設\(ax+by=d\)，\(g=gcd(a,b)\)，設\(ax+by\)的最小值為s，

\(\because\) \(g|a,g|b\)

\(\therefore\) \(g|d\),\(g|s\)

設\(q=[\frac{a}{s}].則r= a\mod s=a-q*s=a-q*(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy)\)。

可見r也是x,y的線性組合，又r是s的余數，\(r\in [0,s-1]\)，又s是最小線性組合，\(\therefore r=0\)。

推出\(s|a\)，同理有\(s|b\)，則\(s|g\),又已經有\(g|s\)，所以\(g=s\)。可知g是ax+by的最小線性組合。

推論：

a和b互質的充要條件是存在x,y使\(ax+by=1\)，因為由上面的證明結論知道d（這里是1）一定是gcd(a,b)的倍數。

其實還可以推廣到一堆數互質（這些數的gcd為1）的情況。

拓展歐幾里得

我們知道，一般的 歐幾里得算法是來求兩個數的最大公因數的，但是拓展歐幾里得可以走得更遠，也就是說，它不僅僅求一個gcd，而是可以求出一些額外的東西。前面的定理說了a,b線性組合最小是\(gcd(a,b)\)，我們就可以求出\(ax+by=gcd(a,b)\)對應的x,y出來。

怎么求呢？我們已經知道當歐幾里得算法遞歸到終點時，gcd(a,b)中的b已經是零，也就是說，這個時候\(a*1+b*0=a\)，x=1，y=0，我們就可以在這時反推上去求解最終的x,y

現在是遞歸返回過程的某一步，我們已經求得了b和a%b的gcd，還有此時的x1,y1，就是說\(b*x1+a\%b*y1=gcd\)，要怎么求a,b的x,y呢？

我們知道\(a\%b=a-[\frac{a}{b}]*b\)，\(gcd=b*x1+(a-[\frac{a}{b}]*b)*y1=b*x1+a*y1-[\frac{a}{b}]*y1*b=a*y1+(x1-[\frac{a}{b}]*y1)*b=a*x+b*y\)

可以看出\(x=y1,y=x1-[\frac{a}{b}]*b\).遞歸返回時即可更新掉x,y的值返回即可。

代碼：

int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return ans;
}

拓展歐幾里得求逆元

什么是逆元？\(a*x\equiv{1}\mod m\)，這里\(x\)就是a的逆元。逆元有什么用呢？*如果我們要求\(a/b \mod m\)的值，而a，b很大，設b的逆元為x，這個時候注意到\((a/b)*x*b=(a/b)\mod m=a*x\mod m\)巧妙地把出發轉換成了乘法。

為什沒求逆元跟歐幾里得算法聯系起來了呢？根據上面裴蜀定理，我們知道gcd是a,b兩個數線性組合的最小值，其他組合值都是gcd的倍數，當gcd為1時，a,b互質，滿足\(ax+by=1\)，移項得\(ax=-by+1\),即\(ax\equiv1\mod b\),此時的x就是逆元。實際上線性不定方程組有無窮多解，這里只求正的最小的逆元。

代碼

int cal(int a,int m)
{
    int x,y;
    int gcd = ex_gcd(a,m,x,y);
    //cout << "a " << a << " m " << m << " x " << x << " y " << y << endl;
    if(1%gcd!=0) return -1;
    x*=1/gcd;
    m = abs(m);
    int ans = x%m;
    if(ans<=0) ans += m;
    return ans;
}

這里1%gcd是看gcd是不是1，前面說了，d（這里是1）應該是gcd的倍數，而且不互質的兩個數沒有逆元。\(x*=1/gcd\)實際上更一般的寫為\(x*=d/gcd\)，也就是求解一般不定方程\(ax+by=d\)的解，因為d是gcd的倍數，我們就把倍數乘上去解得\(x'=x*(d/gcd)\)。m是負數的話，我們取|m|，如果求出來x是負數，就x%|m|,結果再加上|m|即可。（因為有無窮個解，通解為\(x+m*t\)）

參考文章

zhj5chengfeng，擴展歐幾里德算法詳解，https://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

leader_one，歐幾里得算法/擴展歐幾里得算法，https://blog.csdn.net/leader_one/article/details/75222771

Jollwish，擴展歐幾里得算法，https://wenku.baidu.com/view/a75fdfd376a20029bd642de5.html