擴展歐幾里得算法

• 擴展歐幾里得算法

　　擴展歐幾里得算法（英語：Extended Euclidean algorithm）是歐幾里得算法（又叫輾轉相除法）的擴展。已知整數a、b，擴展歐幾里得算法可以在求得a、b的最大公約數的同時，能找到整數x、y（其中一個很可能是負數），使它們滿足貝祖等式：

　　ax + by = gcd(a, b)

如果a是負數，可以把問題轉化成:

　　|a|(-x) + by = gcd(|a|, x) （|a|為a的絕對值），然后令x^' = (-x)。

 通常談到最大公約數時，我們都會提到一個非常基本的事實（貝祖等式給定）：給定二個整數a、b，必存在整數x、y使得ax + by = gcd(a,b)。

 　　眾所周知，已知兩個數a和b，對它們進行輾轉相除，可得它們的最大公約數。不過，在歐幾里得算法中，我們僅僅利用了每步帶余除法所得的余數。擴展歐幾里得算法還利用了帶余除法所得的商，在輾轉相除的同時也能得到貝祖等式中的x、y兩個系數。以擴展歐幾里得算法求得的系數是滿足裴蜀等式的最簡系數。

另外，擴展歐幾里得算法是一種自驗證算法，最后一步得到的s_i+1和t_i+1(s_i+1和t_i+1的含義如下)乘以gcd(a,b)之后恰好是a和b,可以用來驗證計算結果是否正確。

擴展歐幾里得算法可以用來計算模反元素(也叫模逆元)，求出模反元素是RSA加密算法中獲得所需公鑰、私鑰的必要步驟。

• 算法和舉例

在標准的歐幾里得算法中，我們記欲求最大公約數的兩個數為a和b，第i步帶余除法得到的商為q_i，余數為r_i+1，則歐幾里得算法可以寫成如下形式：

　　　　　r₀ = a

　　　　　r₁ = b

 　　　　　.......

　　　　r_i+1 = r_i-1 - q_i r_i   且 0 ≤ r_i+1 < |r_i|

　　　　　 ......

當某步得到的 r_i+1 = 0 時，計算結束。上一步得到的r_i即為a，b的最大公約數。

擴展歐幾里得算法在q_i，r_i的基礎上增加了兩組序列，記作s_i和t_i，並s₀ = 1, s₁ = 0, t₀ = 0, t₁ = 1，在歐幾里得算法每步計算r_i+1 = r_i-1 - q_i r_i 之外額外計算

s_i+1 = s_i-1 - q_i s_i 和 t_i+1 = t_i-1 - q_i t_i，亦即:

 　　　　r₀ = a　　　　　　r₁ = b

　　　　 s₀ = 1　　　　　　s₁ = 0

　　　　 t₀ = 0　　　　　　t₁ = 1

　　　　   ......                    ......

　　　r_i+1 = r_i-1 - q_i r_i   且 0 ≤ r_i+1 < |r_i|　　

 　　  s_i+1 = s_i-1 - q_i s_i 

　　   t_i+1 = t_i-1 - q_i t_i 

　　　　  ......  

算法結束條件與歐幾里得算法一致，也是r_i+1 = 0，此時所得的s_i 和 t_i 即滿足等式gcd(a, b) = r_i = as_i + bt_i。

下表以a = 240，b = 46為例演示了擴展歐幾里得算法：

序號 i	商 qi−1	余數 ri	si	ti
0		240	1	0
1		46	0	1
2	240 ÷ 46 = 5	240 − 5 × 46 = 10	1 − 5 × 0 = 1	0 − 5 × 1 = −5
3	46 ÷ 10 = 4	46 − 4 × 10 = 6	0 − 4 × 1 = −4	1 − 4 × −5 = 21
4	10 ÷ 6 = 1	10 − 1 × 6 = 4	1 − 1 × −4 = 5	−5 − 1 × 21 = −26
5	6 ÷ 4 = 1	6 − 1 × 4 = 2	−4 − 1 × 5 = −9	21 − 1 × −26 = 47
6	4 ÷ 2 = 2	4 − 2 × 2 = 0	5 − 2 × −9 = 23	−26 − 2 × 47 = −120

所得的最大公因數是2，所得貝祖等式為gcd(240, 46) = 2 = -9* 240 + 47 * 46。同時還有自驗證等式|23| * 2 = 46 和 |-120| * 2 = 240。

• 擴展歐幾里得算法和模逆元實現

　　以下是擴展歐幾里德算法的Rust實現： 

pub fn extend_euclidean(a: isize,b: isize)->(isize,isize,isize){
    if b == 0{
        return ( 1,0,a);
    }else {
        let (mut old_r,mut r) = (a,b);
        let (mut old_s,mut s) = (1,0);
        let (mut old_t,mut t) = (0,1);
        while r != 0{
            let q = old_r/r;

            let temp = old_r;
            old_r = r;
            r = temp - q*r;

            let temp = old_s;
            old_s = s;
            s = temp - q*s;

            let temp = old_t;
            old_t = t;
            t = temp - q*t;
        }
        (old_s,old_t,old_r)
    }
}

 模逆元Rust實現：

pub fn mod_inverse(a: isize,n:isize)->Option<isize>{
    let (s,_t,gcd) = extend_euclidean(a,n);
    if gcd != 1{
       return None;
    }
    if s > 0{
        Some(s)
    }else {
        Some(s+n)
    }
}

擴展歐幾里得算法以及模逆元測試代碼：

    #[test]
    fn ext_gcd_test(){
        let a = 7;
        let n = 977;
        let (s,t,gcd) = extend_euclidean(a,n);
        assert_eq!((-279,2,1),extend_euclidean(7,977));

        assert_eq!(mod_inverse(47,977),Some(686));

    }